Question

已知：如图，AD⊥CD，BC⊥CD，D、C分别为垂足，AB的垂直平分线EF交AB于点E，交CD于点F，BC=DF．求证：
（1）∠DAF=∠CFB；
（2）EF=

1

2

AB．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线

专题：证明题

分析：（1）根据条件可以得出△ADF≌△FCB就可以得出∠DAF=∠CFB；
（2）根据∠DAF+DFA=90°可以得出∠AFB=90°，就可以得出△AFB是等腰直角三角形，由EF是AB的垂直平分线就可以得出EF=

1

2

AB．

解答：证明：（1）EF垂直平分AB，
∴AF=BF，AE=BE．
∵AD⊥CD，BC⊥CD，
∴∠D=∠C=90°．
在Rt△ADF和Rt△FCB中

AF=FB DF=CB

，
∴△ADF≌△FCB（HL），
∴∠DAF=∠CFB；
（2）∵∠D=90°，
∴∠DAF+∠DFA=90°，
∴∠CFB+∠DFA=90°，
∴∠AFB=90°．
∴△AFB是等腰直角三角形．
∵AE=BE，
∴EF=

1

2

AB．

点评：本题考查了直角三角形的性质的运用，垂直平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键、