Question

已知实数a，b，c满足a+b+c=1，

1

a+b-c

+

1

b+c-a

+

1

c+a-b

=1，求abc的值．

Answer 1

考点：分式的化简求值

专题：

分析：首先求出a+b-c=1-2c，b+c-a=1-2a，c+a-b=1-2b，得到

1

a+b-c

+

1

b+c-a

+

1

c+a-b

=

3-4(a+b+c)+4(ab+ac+bc)

1-2(a+b+c)+4(ab+ac+bc)-8abc

，借助

1

a+b-c

+

1

b+c-a

+

1

c+a-b

=1，即可解决问题．

解答：解：∵a+b+c=1，
∴a+b-c=1-2c，b+c-a=1-2a，c+a-b=1-2b，
∴

1

a+b-c

+

1

b+c-a

+

1

c+a-b

=

1

1-2a

+

1

1-2b

+

1

1-2c

=

(1-2b)(1-2c)+(1-2a)(1-2c)+(1-2a)(1-2b)

(1-2a)(1-2b)(1-2c)

=

1-2c-2b+4bc+1-2c-2a+4ac+1-2b-2a+4ab

(1-2a-2b+4ab)(1-2c)

=

3-4(a+b+c)+4(ab+ac+bc)

1-2(a+b+c)+4(ab+ac+bc)-8abc

，
∵

1

a+b-c

+

1

b+c-a

+

1

c+a-b

=1，
∴-1+4（ab+ac+bc）=-1+4（ab+ac+bc）-8abc，
∴abc=0．

点评：该题主要考查了分式的混合运算法则及其应用问题；灵活运用分式的混合运算法则来变形、化简、运算是解题的关键．