Question

已知关于x的方程x²-kx+k-1=0．
（1）求证：当k＞2时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若二次函数y=x²-kx+k-1（k＞2）的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，且tan∠OAC=4，求该二次函数的解析式；
（3）已知点P（m，0）是x轴上的一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交（2）中的二次函数图象于点M，交一次函数y=px+q的图象于点N．若只有当1＜m＜5时，点M位于点N的下方，求一次函数y=px+q的解析式．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）求出△=（-k）²-4×1×（k-1）=（k-2）²，根据k＞2，可得△恒大于0，可判断方程总有两个不相等的实数根；
（2）令y=0，求出A、B的坐标，然后求出点C的坐标，根据tan∠OAC=4，将OC和OA代入求出k的值，即可得出解析式；
（3）根据题意结合图形求出交点的坐标，然后将交点坐标代入y=px+q，求出p、q的值，继而可得出一次函数解析式．

解答：解：（1）证明：∵△=（-k）²-4×1×（k-1）=（k-2）²，
又∵k＞2，∴k-2＞0，
∴（k-2）²＞0，即△＞0，
∴当k＞2时，方程总有两个不相等的实数根；

（2）∵y=x²-kx+k-1（k＞2）与x轴交于A、B两点，
∴令y=0，有x²-kx+k-1=0，
解得：x=1，或x=k-1，
∵k＞2，点A在点B的左侧，
∴A（1，0），B（k-1，0）．
∵抛物线与y轴交于点C，
∴C（0，k-1），
在Rt△AOC中，tan∠OAC=

OC

OA

=

k-1

1

=4，
解得：k=5，
∴抛物线的解析式为y=x²-5x+4；

（3）依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为1和5，
则交点坐标为（1，0）和（5，4），
将交点坐标分别代入一次函数解析式y=px+q中，
得

p+q=0 5p+q=4

，
解得：

p=1 q=-1

，
故一次函数的解析式为y=x-1．

点评：本题考查了二次函数与一次函数的综合运用，涉及了利用根的判别式判断根的情况，利用待定系数法求一次函数解析式，第三问的关键是利用数形结合确定交点的坐标，难度较大．