Question

11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E是边AB的中点，点F、P分别是BC、AC上动点，则PE+PF的最小值是$\frac{24}{5}$．

Answer 1

分析 先根据菱形的性质求出其边长，再作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF的最小值，再根据菱形的性质求出E′F的长度即可．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=6，BD=8，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
作E关于AC的对称点E′，作E′F⊥BC于F交AC于P，连接PE，则E′F即为PE+PF的最小值（垂线段最短），
∵$\frac{1}{2}$•AC•BD=AD•E′F，
∴E′F=$\frac{24}{5}$，
∴PE+PF的最小值为$\frac{24}{5}$
故选答案为$\frac{24}{5}$．

点评 本题考查的是轴对称-最短路线问题、菱形的性质、垂线段最短等知识，熟知菱形的性质是解答此题的关键，学会利用对称，根据垂线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．