Question

20．如图1，将1张菱形纸片ABC的（∠ADC＞90°）沿对角线BD剪开，得到△ABD和△BCD．再将△BCD以D为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α=∠ADB，得到如图2所示的△DB′C，连接AC、BB′，∠DAB=45°，有以下结论：①AC=BB′；②AC⊥AB；③∠CDA=90°；④BB′=$\sqrt{3}$AB，其中正确结论的序号是①②③．（把所有正确结论的序号都填在横线上）

Answer 1

分析 如图1，先利用菱形的性质得AB=BC=CD=AD，∠A=∠C=45°，则利用等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出∠ADB=∠ABD=67.5°，则α=2∠ADB=135°；如图2，利用旋转的性质得到DB=DB′，DC=DA，CB′=AB，∠7=∠3=67.5°，∠6=135°，则可计算出∠4=∠5=22.5°，所以∠ABB′=∠BB′C=90°，则可证明四边形ABB′C为矩形，于是可对①②进行判断；然后证明△ADC为等腰直角三角形，则可对③④进行判断．

解答 解：如图1，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C=45°，
∴∠ADB=∠ABD=67.5°，
∴α=2∠ADB=135°，
如图2，
∵将△BCD以D为旋转中心，按逆时针方向旋转角135°，
∴DB=DB′，DC=DA，CB′=AB，∠7=∠3=67.5°，∠6=135°，
在△DBB′中，∠4=∠5=$\frac{1}{2}$（180°-135°）=22.5°，
∴∠ABB′=∠3+∠4=90°，∠BB′C=∠5+∠7=90°，
∴AB∥CB′，
而AB=CB′，
∴四边形ABB′C为矩形，
∴AC=BB′，AC⊥AB，所以①②正确，
∵∠CAB=90°，∠1=45°，
∴∠CAD=45°，
而DC=DA，
∴△ADC为等腰直角三角形，
∴∠CDA=90°；BB′=$\sqrt{2}$AB，所以③正确，④错误．
故答案为①②③．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了矩形的判定与性质和菱形的性质．