Question

18．图中是抛物线拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m，从O、A两处观测P处，仰角分别为α、β，且tanα=$\frac{1}{2}$，tanβ=$\frac{3}{2}$，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系．
（1）求点P的坐标；
（2）水面上升1m，水面宽多少？

Answer 1

分析 （1）过点P作PH⊥x轴于点H，设PH=3x，则OH=6x，AH=2x，由OA=4m，可求出x值，进而可得出点P的坐标；
（2）根据点O、P、A的坐标利用待定系数法，可求出抛物线的解析式，再根据二次函数图象上点的坐标特征可求出y=1时x的值，两值做差即可得出结论．

解答 解：（1）过点P作PH⊥x轴于点H，如图所示．
设PH=3x，则OH=6x，AH=2x，
∴OA=OH+HA=6x+2x=4，
解得：x=$\frac{1}{2}$，
∴OH=6x=3，PH=3x=$\frac{3}{2}$，
∴点P的坐标为（3，$\frac{3}{2}$）．
（2）设拱桥所在抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
将点O（0，0）、B（4，0）、P（3，$\frac{3}{2}$）代入y=ax²+bx+c，
$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{9a+3b+c=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴拱桥所在抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+2x．
当y=-$\frac{1}{2}$x²+2x=1时，x=2±$\sqrt{2}$，
∴2+$\sqrt{2}$-（2-$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$（m）．
答：水面上升1m，水面宽2$\sqrt{2}$m

点评 本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题、二次函数的应用、待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）设出PH的长度，用其表示出OH、AH的长度；（2）根据点的坐标利用待定系数法求出二次函数的解析式．