Question

3．已知△ABC是等边三角形，点P为△ABC外一点，∠BPC=120°，连接PA、PB、PC．
（1）如图①，求证：PB+PC=PA；
（2）如图②，若点P为△ABC内一点，∠BPC=150°，猜想PA、PB和PC之间的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）延长BP至E，使PE=PC，连接CE，由∠BPC=120°，推出等边△CPE，得到CP=PE=CE，∠PCE=60°，根据已知等边△ABC，推出AC=BC，∠ACP=∠BCE，根据三角形全等的判定推出△ACP≌△BCE，得出AP=BE即可求出结论；
（2）猜想：AP²=BP²+CP²．如图②，做∠BPE=60°，且PE=BP，连接BE，CE，得到△BPE为等边三角形，∠BPE=60°，BP=BE，所以∠EBC=∠EBP-∠CBP=60°-∠CBP=∠ABC-∠CBP=∠ABP，证明△BEC≌△BPA（SAS），得到CE=AP，在△EPC中，∠EPC=150°-60°=90°，所以CE²=EP²+CP²，由CE=AP，PE=BP，得到AP²=BP²+CP²．

解答 解：（1）如图①，延长BP至E，使PE=PC，连接CE，

∵∠BPC=120°，
∴∠CPE=60°，又PE=PC，
∴△CPE为等边三角形，
∴CP=PE=CE，∠PCE=60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC，∠BCA=60°，
∴∠ACB=∠PCE，
∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP，
即：∠ACP=∠BCE，
在△ACP和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACP=∠BCE}\\{PC=PE}\end{array}\right.$，
∴△ACP≌△BCE（SAS），
∴AP=BE，
∵BE=BP+PE，
∴AP=BP+PC．
（2）猜想：AP²=BP²+CP²．
证明：如图②，做∠BPE=60°，且PE=BP，连接BE，CE，

∴△BPE为等边三角形，∠BPE=60°，BP=BE，
∴∠EBC=∠EBP-∠CBP=60°-∠CBP=∠ABC-∠CBP=∠ABP，
在△BEC和△BPA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABP=∠EBC}\\{BP=BE}\end{array}\right.$，
∴△BEC≌△BPA（SAS），
∴CE=AP，
∴△EPC中，∠EPC=150°-60°=90°，
∴CE²=EP²+CP²，
∵CE=AP，PE=BP，
∴AP²=BP²+CP²．

点评 本题主要考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解决本题的关键是正确作出辅助线．