Question

7．如图所示，在平行四边形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，∠BMC=90°，连接AN，DN，AN与BM交于点O．
（1）求证：△ABM≌△CDN；
（2）点P在直线BM上，若BM=3，CM=4，求△PND的周长的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据判定定理（SAS）进行判定．
（2）只需求得PN+PD的最短距离即可．即只需证明：点A与点N关于直线BM对称，故当点P与点M重合时，△PND的周长最小．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，M，N分别是AD，BC的中点，
∴AM=CN，AB=CD，∠BAM=∠NCD
∴在△ABM与△CDN中，$\left\{\begin{array}{l}{AM=CN}\\{∠BAM=∠NCD}\\{AB=CD}\end{array}\right.$
∴△ABM≌△CDN（SAS）
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，M，N分别是AD，BC的中点，
∴AM=CN，且AM∥CN，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∴AN∥CM，
又∵∠BMC=90°，
∴AN⊥BM，
∵易证四边形ABNM是平行四边形，
∴OA=ON，即：点A与点N关于直线BM对称，
∴当点P与点M重合时，△PND的周长最小，
由（1）知：
即：△PND的周长的最小值=△MND的周长=$\frac{5}{2}$+$\frac{5}{2}$+3=8．

点评 本题考查了轴对称-最短路线问题、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解题的关键是掌握以上各知识点，证明点A与点N关于直线BM对称是难点．