Question

如图，在△ABC中，∠A=60°，△ABC的内切圆I分别切边AB、AC于点D、E，直线DE分别与直线BI、CI相交于点F、G，证明：FG=

1

2

BC．

Answer 1

考点：四点共圆

专题：

分析：连结AI、BG、ID、IE、CF，根据三角形外角性质和内心的性质得∠BIG=∠IBC+∠ICB=

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2

（∠ABC+∠ACB），再根据切线长定理得到AD=AE，则∠ADE=∠AED，根据三角形内角和定理得到∠ADE=

1

2

（180°-∠A）=

1

2

（∠ABC+∠ACB），而∠BDG=∠ADE，所以BDG=∠BIG，根据四点共圆的判定方法得到B、I、D、G四点共圆，于是根据圆周角定理得∠BGI=∠BDI，；易得∠BDI=∠BGI=90°，再由∠ADE=∠ABF+∠DFB得到∠DFB=∠ADE-

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2

∠ABC=

1

2

（∠ABC+∠ACB）-

1

2

∠ABC=

1

2

∠ACB=∠ECI，又可判断F、I、C、E四点共圆，所以∠FCI=∠IEF，∠IFC=∠IEC，根据切线长定理得到∠IED=∠IAE=

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2

∠BAC=30°，则∠BFC=90°，∠GCF=30°，而∠BGC=90°，于是得到点G和F在以BC为直径的圆上，根据正弦定理得

GF

sin∠GCF

=BC，所以GF=BC•sin30°=

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2

BC．

解答：证明：连结AI、BG、ID、IE、CF，如图，
∵点I为△ABC的内心，
∴∠BIG=∠IBC+∠ICB=

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2

∠ABC+

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∠ACB=

1

2

（∠ABC+∠ACB），
∵△ABC的内切圆I分别切边AB、AC于点D、E，
∴AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠ADE=

1

2

（180°-∠A）=

1

2

（∠ABC+∠ACB），
∴∠BDG=∠ADE=

1

2

（∠ABC+∠ACB），
∴∠BDG=∠BIG，
∴B、I、D、G四点共圆，
∴∠BGI=∠BDI，
∵AD与⊙I相切，
∴∠BDI=90°，
∴∠BGI=90°，
∵∠ADE=∠ABF+∠DFB，
∴∠DFB=∠ADE-

1

2

∠ABC=

1

2

（∠ABC+∠ACB）-

1

2

∠ABC=

1

2

∠ACB=∠ECI，
∴F、I、C、E四点共圆，
∴∠FCI=∠IEF，∠IFC=∠IEC，
∵△ABC的内切圆I分别切边AB、AC于点D、E，
∴∠IEC=90°，AI垂直平分DE，
∴∠IED=∠IAE=

1

2

∠BAC=

1

2

×60°=30°，
∴∠BFC=90°，∠GCF=30°，
而∠BGC=90°，
∴B、G、F、C四点共圆，即点G和F在以BC为直径的圆上，
∴

GF

sin∠GCF

=BC，
∴GF=BC•sin30°=

1

2

BC．

点评：本题考查了四点共圆：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆；若四点连成四边形的对角互补或其中一个外角等于其邻补角的内对角，则这四点共圆．也考查了圆周角定理、三角形内心的性质、切线的性质和正弦定理．