Question

13．如图，双曲线y=$\frac{k}{x}$（k≠0）经过Rt△OMN斜边上的点A，与直角边MN相交于点B，已知OA=2AN，△OAB的面积为10，则k的值是24．

Answer 1

分析 过点A作AC⊥x轴于点C，则AC∥MN，故可得出△OAC∽△OMN，由相似三角形的性质可知OC：OM=AC：MN=OA：ON，再由OA=2AN可知OA：ON=2：3，设A（a，b），可用a、b表示出N点坐标，设点B（$\frac{3}{2}$a，y），点A与点B都在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上可用a、b表示出B点坐标，再由OA=2AN，△OAB的面积是5可得出△NAB的面积，△ONB的面积，故可得出ab的值，进而得出k的值．

解答 解：过点A作AC⊥x轴于点C，则AC∥MN，
∴△OAC∽△OMN，
∴OC：OM=AC：MN=OA：ON，
∵OA=2AN，即OA：ON=2：3，
∵设A（a，b），
∴OC=a，AC=b，
∴OM=$\frac{3}{2}$a，MN=$\frac{3}{2}$b，
∴N点坐标为（$\frac{3}{2}$a，$\frac{3}{2}$b），
设点B（$\frac{3}{2}$a，y），
∵点A与点B都在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=ab=$\frac{3}{2}$a•y，
∴y=$\frac{2}{3}$b，即B（$\frac{3}{2}$a，$\frac{2}{3}$b），
∵OA=2AN，△OAB的面积是10，
∴△NAB的面积是5，
∴△ONB的面积=10+5=15，
∴$\frac{1}{2}$NB•OM=15，$\frac{1}{2}$×（$\frac{3}{2}$b-$\frac{2}{3}$b）×$\frac{3}{2}$a=15，
∴ab=24，
∴k=24．
故答案为：24．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、用待定系数法求反比例函数的解析式、反比例函数图象上点的坐标特点等知识，难度适中．