Question

13．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y₁=ax²-4ax-4的顶点在x轴上，直线l：y₂=-x+5与x轴交于点A．
（1）求抛物线C₁：y₁=ax²-4ax-4的表达式及其顶点坐标；
（2）点B是线段OA上的一个动点，且点B的坐标为（t，0）．过点B作直线BD⊥x轴交直线l于点D，交抛物线C₂：y₃=ax²-4ax-4+t 于点E．设点D的纵坐标为m，设点E的纵坐标为n，求证：m≥n；
（3）在（2）的条件下，若抛物线C₂：y₃=ax²-4ax-4+t 与线段BD有公共点，结合函数的图象，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线解析式确定出对称轴，顶点坐标，最后求出抛物线C₁，
（2）先表示出点E坐标，求出m-n，从而判断出m≥n；
（3）由抛物线C₂与线段BD有公共点，点D要么与点E重合，要么在点E的上方，得到n≥0，从而确定出时间范围．

解答 解：（1）∵抛物线C1：y₁=ax²-4ax-4，
∴对称轴为x=2，
∵顶点在x轴上，
∴顶点为（2，0），
∴当x=2时，y=-4a-4=0，
∴a=-1，
∴抛物线C₁：y₁=-x²+4x-4，
（2）∵点B的坐标为（t，0），且BD⊥x轴交直线l于点D，
∴D（t，-t+5）
∵直线BD交抛物线C₂于E，
∴E（t，-t²+5t-4），
∵m-n=-t-5-t²+5t-4）=（t-3）²≥0，
∴m≥n，
（3）∵抛物线C₂与线段BD有公共点，
∴E应在线段BD上，
由（2）知，点D要么与点E重合，要么在点E的上方，
∴n≥0，
∴-t²+5t-4≥0，
当-t²+5t-4=0时，
∴t=1或t=4，
∴1≤t≤4．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的性质，抛物线和直线的交点坐标，解本题的关键是m与n的大小的比较．