Question

19．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，直线EF分别交两直角边AB、BC与E、F两点，且EF∥AC，P是斜边AC的中点，连接PE，PF，且AB=$\frac{6}{5}$，BC=$\frac{8}{5}$．
（1）当E、F均为两直角边的中点时，求证：四边形EPFB是矩形，并求出此时EF的长；
（2）设EF的长度为x（x＞0），当∠EPF=∠A时，用含x的代数式表示EP的长；
（3）设△PEF的面积为S，则当EF为多少时，S有最大值，并求出该最大值．

Answer 1

分析 （1）先求出四边形EPFB是平行四边形，再由∠B=90°得出四边形EPFB是矩形，利用勾股定理求出EF．
（2）证明△APE∽△PEF，得出对应边成比例，即可得出结果．
（3）作FH⊥AC交AC于点H，设EF=x，得出BF，CF及FH的值，再利用三角形面积求出EF及最大值，利用中位线定理即可求出EP的值．

解答 解：（1）如图1，
∵E是AB的中点，P是AC的中点，
∴EP∥BC，且EP=$\frac{1}{2}$BC，
∵F是BC的中点，
∴EP∥BF，且EP=BF，
四边形EPFB是平行四边形，
∵∠B=90°，
∴四边形EPFB是矩形，
（2）∵AB=$\frac{6}{5}$，BC=$\frac{8}{5}$．
∴BE=$\frac{3}{5}$，BF=$\frac{4}{5}$，
∴EF=$\sqrt{（\frac{3}{5}）^{2}+（\frac{4}{5}）^{2}}$=1．（2）∵EF∥AC，
∴∠APE=∠PEF，∵∠EPF=∠A，
∴△APE∽△PEF．
∴$\frac{AP}{EP}=\frac{EP}{EF}$，
∵AP=1，EF=x，
∴EP²=x，
∴EP=$\sqrt{x}$．
（3）如图2，作FH⊥AC交AC于点H，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
设EF=x，则BF=$\frac{4}{5}$x，CF=$\frac{8}{5}$-$\frac{4}{5}$x，
∴FH=$\frac{3}{5}$CF=$\frac{24}{25}$-$\frac{12}{25}$x，
∴S=$\frac{1}{2}$EF•FH=-$\frac{6}{25}$x²+$\frac{12}{25}$x=-$\frac{6}{25}$（x-1）²+$\frac{6}{25}$，
∴当x=1，即EF=1时，S有最大值为$\frac{6}{25}$．

点评 本题是四边形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质及二次函数的最值，解题的关键是运用三角形相似及三角函数求出线段之间的关系．