Question

1．如图（1），∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN=α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．
（1）如图（1），当α=90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是DE+DF=AD；
（2）如图（2），将图（1）中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，其他条件不变，当α=60°时，（1）中的结论变为DE+DF=$\frac{1}{2}$AD，请给出证明；
（3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与AD的延长线交于点E，其他条件不变，请你探究：在运动变化过程中，（2）中的结论还成立吗？如成立，请说明理由．如不成立，请写出DE，DF，AD之间满足的数量关系，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）利用正方形的性质得出角与线段的关系，易证得△APE≌△DPF，可得出AE=DF，即可得出结论DE+DF=AD，
（2）取AD的中点M，连接PM，利用菱形的性质，可得出△MDP是等边三角形，易证△MPE≌△FPD，得出ME=DF，由DE+ME=$\frac{1}{2}$AD，即可得出DE+DF=$\frac{1}{2}$AD，
（3）当点E落在AD的延长线上时，取AD的中点M，连接PM，利用菱形的性质，可得出△MDP是等边三角形，易证△MPE≌△FPD，得出ME=DF，根据线段的和差即可得到结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠APD=90°，∠PAD=PDF=45°，PA=PD，
∵∠QPN=α=90°，
∴∠APE=∠DPF=90°-∠DPE，
在△PAE和△PDF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PAD=∠PDF}\\{PA=PD}\\{∠APE=∠DPF}\end{array}\right.$，
∴△PAE≌△PDF，
∴DF=AE，
∴DE+DF=AD，
故答案为：DE+DF=AD；

（2）如图（1），取AD的中点M，连接PM，
∵四边形ABCD为菱形，∠ADC=120°，
∴AD=CD，∠DAP=30°，AC⊥BD，
∴∠ADP=∠CDP=60°，
∵AM=MD，
∴PM=MD，
∴△MDP是等边三角形，
∴∠PME=∠MPD=60°，PM=PD，
∵∠QPN=60°，
∴∠MPE=∠FPD，
在△MPE和△DPF中，$\left\{\begin{array}{l}∠PME=∠PDF\\ PM=PD\\∠MPE=∠FPD\end{array}\right.$
∴△MPE≌△DPF（ASA）．
∴ME=DF，
∴DE+DF=DE+ME=MD，
即DE+DF=$\frac{1}{2}$AD；

（3）如图③，当点E落在AD的延长线上时，
取AD的中点M，连接PM，
∵四边形ABCD为菱形，∠ADC=120°，
∴AD=CD，∠DAP=30°，AC⊥BD，
∴∠ADP=∠CDP=60°，
∵AM=MD，
∴PM=MD，
∴△MDP是等边三角形，
∴∠PME=∠MPD=60°，PM=PD，
∵∠QPN=60°，
∴∠MPE=∠FPD，
在△MPE和△DPF中，$\left\{\begin{array}{l}∠PME=∠PDF\\ PM=PD\\∠MPE=∠FPD\end{array}\right.$
∴△MPE≌△DPF（ASA）．
∴ME=DF，
∴DF-DE=ME-DE=DM=$\frac{1}{2}$AD．

点评 本题主要考查了四边形的综合题，涉及全等三角形，正方形及菱形的性质，解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与线段之间的等量关系．