题目内容

如图，平行四边形ABCO在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（0，4），抛物线y=-x2+mx+n经过点A和C．

（1）求抛物线的解析式．
（2）该抛物线的对称轴将平行四边形ABCO分成两部分，对称轴左侧部分的图形面积记为S1，右侧部分图形的面积记为S2，求S1与S2的比．
（3）在y轴上取一点D，坐标是（0，
7
2
），将直线OC沿x轴平移到O′C′，点D关于直线O′C′的对称点记为D′，当点D′正好在抛物线上时，求出此时点D′坐标并直接写出直线O′C′的函数解析式．
考点：二次函数综合题,待定系数法求一次函数解析式,待定系数法求二次函数解析式,平行四边形的性质,锐角三角函数的定义
专题：综合题
分析：（1）由条件可求出点C的坐标，然后用待定系数法就可求出抛物线的解析式．
（2）由抛物线的解析式可求出其对称轴，就可求出S2，从而求出S1，就可求出S1与S2的比．
（3）由题可知DD′⊥O′C′，且DD′的中点在直线O′C′上．由OC∥O′C′可得DD′⊥OC．过点D作DM⊥CO，交x轴于点M，只需先求出直线DM的解析式，再求出直线DM与抛物线的交点，就得到点D′的坐标，然后求出DD′中点坐标就可求出对应的直线O′A′的解析式．
解答：解：（1）如图1，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴BC=OA，BC∥OA．
∵A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（0，4），
∴点C的坐标为（2，4）．
∵抛物线y=-x2+mx+n经过点A和C．
∴
0=-4-2m+n
4=-4+2m+n
．
解得：
m=1
n=6
．
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+6．

（2）如图1，
∵抛物线的解析式为y=-x2+x+6．
∴对称轴x=-
b
2a
=
1
2
，
设OC所在直线的解析式为y=ax，
∵点C的坐标为（2，4），
∴2a=4，即a=2．
∴OC所在直线的解析式为y=2x．
当x=
1
2
时，y=1，则点F为（
1
2
，1）．
∴S2=
1
2
EC•EF
=
1
2
×（2-
1
2
）×（4-1）=
9
4
．
∴S1=S四边形ABCO-S2=2×4-
9
4
=
23
4
．
∴S1：S2=
23
4
：
9
4
=23：9．
∴S1与S2的比为23：9．

（3）过点D作DM⊥CO，交x轴于点M，如图2，
∵点C的坐标为（2，4），
∴tan∠BOC=
1
2
．
∵∠OMD=90°-∠MOC=∠BOC，
∴tan∠OMD=
OD
OM
=
1
2
．
∵点D的坐标是（0，
7
2
），
∴
7
2
OM
=
1
2
，即OM=7．
∴点M的坐标为（7，0）．
设直线DM的解析式为y=kx+b，
则有
0=7k+b
7
2
=b
，
解得：
k=-
1
2
b=
7
2

∴直线DM的解析式为y=-
1
2
x+
7
2
．
∵点D与点D′关于直线O′C′对称，
∴DD′⊥O′C′，且DD′的中点在直线O′C′上．
∵OC∥O′C′，∴DD′⊥OC．
∴点D′是直线DM与抛物线的交点．
联立
y=-
1
2
x+
7
2
y=-x2+x+6

解得：
x1=-1
y1=4
，
x2=
5
2
y2=
9
4
，
∴点D′的坐标为（-1，4）或（
5
2
，
9
4
）．
设直线O′C′的解析式为y=2x+c，
①当点D′的坐标为（-1，4）时，如图3，
线段DD′的中点为（
0-1
2
，
7
2
+4
2
）即（-
1
2
，
15
4
），
则有2×（-
1
2
）+c=
15
4
，
解得：c=
19
4
．
此时直线O′C′的解析式为y=2x+
19
4
．
②当点D′的坐标为（
5
2
，
9
4
）时，如图4，
同理可得：此时直线O′C′的解析式为y=2x+
3
8
．
综上所述：当点D′的坐标为（-1，4）时，直线O′C′的解析式为y=2x+
19
4
；当点D′的坐标为（
5
2
，
9
4
）时，直线O′C′的解析式为y=2x+
3
8
．
点评：本题考查了用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、抛物线与直线的交点、平行四边形的性质、三角函数的定义、中点坐标公式等知识，有一定的综合性．
练习册系列答案
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如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．在△ABC内并排（不重叠）放入边长为1的小正方形纸片，第一层小纸片的一条边都在AB上，首尾两个正方形各有一个顶点分别在AC、BC上，依次这样摆放上去，则最多能摆放（　　）个小正方形纸片．
A、14个B、15个
C、16个D、17个
直线y=kx+b与坐标轴交于A、B两点，且点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，那么对k和b的符号判断正确的是（　　）
A、k＞0，b＞0
B、k＞0，b＜0
C、k＜0，b＞0
D、k＜0，b＜0
如图1，有一长方形餐厅，长10米，宽7米，现只摆放两套同样大小的圆桌和椅子，一套圆桌和椅子占据的地面部分可看成半径为1.5米的圆形（如图1）．在保证通道最狭窄处的宽度不小于0.5米的前提下，此餐厅内能否摆下三套或四套同样大小的圆桌和椅子呢？请在摆放三套或四套的两种方案中选取一种，在（图2）14×20方格纸内画出设计示意图．（提示：①画出的圆应符合比例要求； ②为了保证示意图的清晰，请你在有把握后才将设计方案正式画在方格纸上．说明：正确地画出了符合要求的三个圆得6分，正确地画出了符合要求的四个圆得9分．）
我们容易发现，反比例函数y=
k
x
的图象既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形，我们可以利用这些性质解决问题．
（1）①反比例函数y=
k
x
图象有
 
条对称轴，直线方程分别为
 
；反比例函数y=
k
x
图象的对称中心坐标为
 
；
②如果反比例函数y=
k
x
的图象经过点（a，b），那么它一定同时经过点
 
；（用字母a，b表示，写出两个即可）
（2）如图1，直线y=nx与反比例函数y=
3
x
的图象分别交于第一、三象限的点B、D，已知点A（-m，0），C（m，0）
①判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论；
②当点B为（p，1）时，四边形ABCD是矩形，如图2，试求p和m的值．
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（1）求点P的坐标；
（2）求抛物线解析式；
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作图题：
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（2）在网格中，画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC关于点O中心对称．
（3）请问△ABC的面积为
 
．

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