Question

17．如图，△ABC是Rt△，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于D，⊙O的半径为5，$tanA=\frac{3}{4}$．
（1）利用尺规作图，过点D作⊙O的切线DE，交BC于点E，保留作图痕迹；
（2）求线段CD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，作∠BOD的平分线交BC于点E，连接DE，DE就是⊙O的切线．
（2）连接BD，只要证明△ABD～△ACB，得$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AB}{AC}$，求出AC即可解决问题．

解答 解：（1）如图，连接OD，作∠BOD的平分线交BC于点E，连接DE，DE就是⊙O的切线．


（2）连接BD，

∵BD是直径，
∴∠ADB=90°，
∵$tanA=\frac{3}{4}$．AB=10，
∴AD=8，BD=6，
∵∠BAD=∠BAC，∠ABC=∠ADB=90°，
∴△ABD～△ACB
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AB}{AC}$，
∴AC=$\frac{25}{2}$，
∴CD=AC-AD=$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查切线的性质、解直角三角形、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．