如图.在平面直角坐标系中.抛物线y=a2x+bx+4与x轴交于A.B两点(点A在原点左侧.点B在原点右侧).与y轴交于点C．已知OA=1.OC=OB．(1)求这个抛物线的解析式,(2)若点D为第一象限内抛物线上的一点.连接CD.DB.求四边形OCDB的面积的最大值.并求出此时D点的坐标,(3)设E是该抛物线上位于对称轴右侧的一个动点.过点E作x轴平行线交抛物线于另一点F.过点E� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a²x+bx+4与x轴交于A、B两点（点A在原点左侧，点B在原点右侧），与y轴交于点C．已知OA=1，OC=OB．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）若点D为第一象限内抛物线上的一点，连接CD，DB，求四边形OCDB的面积的最大值，并求出此时D点的坐标；
（3）设E是该抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，过点E作x轴平行线交抛物线于另一点F，过点E作EH⊥x轴于点H，再过点F作FG⊥x轴于点G，得到矩形EFGH，在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长．

分析（1）首先求得C的坐标，则B的坐标即可求得，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）设出D的坐标，则利用D的坐标即可表示出四边形的面积，根据函数的性质求得最大值，则D的坐标即可求得；
（3）根据E和F关于对称轴对称，然后利用正方形的性质即可列方程求解．

解答解：（1）在y=a²x+bx+4中令x=0，则y=4，则C的坐标是（0，4），
∵OC=OB，
∴B的坐标是（4，0）．
把（4，0）（-1，0），代入y=a²x+bx+4得：$\left\{\begin{array}{l}{\\;a-\\;b+4=0}\\{16\\;a+4\\;b+4=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{\\;a=-1}\\{\\;b=3}\end{array}\right.$，
则函数的解析式是：y=-x²+3x+4；
（2）设直线BC的解析式是y=kx+b，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{4\\;k+\\;b=0}\\{\\;b=4}\end{array}\right.$，
解得：{，$\left\{\begin{array}{l}{\\;k=-1}\\{\\;b=4}\end{array}\right.$，
则直线BC的解析式是y=-x+4．
设D（m，-m²+3m+4），
作DE⊥x轴于点E．
则S_{四边形OCEB}=S_梯形OCDE+S_△BED=$\frac{1}{2}$【4+（-m²+3m+4）】m+$\frac{1}{2}$（4-m）（-m²+3m+4）
=-2（m-2）²+14，
则当x=2时，y=-2+4=2，则D的坐标是（2，6），此时S的最大值是14；
（3）抛物线的对称轴是x=$\frac{3}{2}$，
设正方形的边长是n，则E的坐标是2（$\frac{\\;n}{2}$-$\frac{3}{2}$$\frac{3}{2}$，n），
代入y=-x²+3x+4得：-（$\frac{\\;n}{2}-\frac{3}{2}$）²+3×（$\frac{\\;n}{2}$-$\frac{3}{2}$）+4=n，
解得：n=4+2$\sqrt{5}$或4-2$\sqrt{5}$（舍去）．
则正方形的面积是（4+2$\sqrt{5}$）²=36+16$\sqrt{5}$．