题目内容
2．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a2x+bx+4与x轴交于A、B两点（点A在原点左侧，点B在原点右侧），与y轴交于点C．已知OA=1，OC=OB．（1）求这个抛物线的解析式；
（2）若点D为第一象限内抛物线上的一点，连接CD，DB，求四边形OCDB的面积的最大值，并求出此时D点的坐标；
（3）设E是该抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，过点E作x轴平行线交抛物线于另一点F，过点E作EH⊥x轴于点H，再过点F作FG⊥x轴于点G，得到矩形EFGH，在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长．
分析 （1）首先求得C的坐标，则B的坐标即可求得，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）设出D的坐标，则利用D的坐标即可表示出四边形的面积，根据函数的性质求得最大值，则D的坐标即可求得；
（3）根据E和F关于对称轴对称，然后利用正方形的性质即可列方程求解．
解答 解：（1）在y=a2x+bx+4中令x=0，则y=4，则C的坐标是（0，4），
∵OC=OB，
∴B的坐标是（4，0）．
把（4，0）（-1，0），代入y=a2x+bx+4得：$\left\{\begin{array}{l}{\\;a-\\;b+4=0}\\{16\\;a+4\\;b+4=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{\\;a=-1}\\{\\;b=3}\end{array}\right.$，
则函数的解析式是：y=-x2+3x+4；
（2）设直线BC的解析式是y=kx+b，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{4\\;k+\\;b=0}\\{\\;b=4}\end{array}\right.$，
解得：{，$\left\{\begin{array}{l}{\\;k=-1}\\{\\;b=4}\end{array}\right.$，
则直线BC的解析式是y=-x+4．
设D（m，-m2+3m+4），
作DE⊥x轴于点E．
则S四边形OCEB=S梯形OCDE+S△BED=$\frac{1}{2}$【4+（-m2+3m+4）】m+$\frac{1}{2}$（4-m）（-m2+3m+4）
=-2（m-2）2+14，
则当x=2时，y=-2+4=2，则D的坐标是（2，6），此时S的最大值是14；
（3）抛物线的对称轴是x=$\frac{3}{2}$，
设正方形的边长是n，则E的坐标是2（$\frac{\\;n}{2}$-$\frac{3}{2}$$\frac{3}{2}$，n），
代入y=-x2+3x+4得：-（$\frac{\\;n}{2}-\frac{3}{2}$）2+3×（$\frac{\\;n}{2}$-$\frac{3}{2}$）+4=n，
解得：n=4+2$\sqrt{5}$或4-2$\sqrt{5}$（舍去）．
则正方形的面积是（4+2$\sqrt{5}$）2=36+16$\sqrt{5}$．
点评 本题考查了二次函数的图象与性质，把求四边形的面积最大值的问题转化为函数最值问题是解决本题的关键．
如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=30°，CD=6，则圆的半径长为（ ）| A． | 2$\sqrt{3}$ | B． | 2 | C． | 4$\sqrt{3}$ | D． | $\sqrt{3}$ |
如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（-1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设B′的坐标是（3，-1），则点B的坐标是（-3，$\frac{1}{2}$）．
如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（-2，6）的对应点A′的坐标是（6，2）．