阅读理解材料一:一组对边平行.另一组对边不平行的四边形叫梯形.其中平行的两边叫梯形的底边.不平行的两边叫梯形的腰.连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线．梯形的中位线具有以下性质:梯形的中位线平行于两底.并且等于两底和的一半．如图(1):在梯形ABCD中:AD∥BC∵E.F是AB.CD的中点∴EF∥AD∥BCEF=$\frac{1}{2}$材料二:经过三角� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．阅读理解
材料一：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形，其中平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的腰，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线．梯形的中位线具有以下性质：
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
如图（1）：在梯形ABCD中：AD∥BC
∵E、F是AB、CD的中点
∴EF∥AD∥BC
EF=$\frac{1}{2}$（AD+BC）
材料二：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边
如图（2）：在△ABC中：
∵E是AB的中点，EF∥BC
∴F是AC的中点
请你运用所学知识，结合上述材料，解答下列问题．
如图（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，E、F分别为AB、CD的中点，∠DBC=30°
（1）求证：EF=AC；
（2）若OD=3$\sqrt{3}$，OC=5，求MN的长．

分析（1）由直角三角形中30°的锐角所对的直角边是斜边的一半，可得OA=$\frac{1}{2}$AD，OC=$\frac{1}{2}$BC，即可证明；
（2）直角三角形中30°的锐角所对的直角边是斜边的一半，得出OA=3，利用平行线得出ON=$\frac{1}{2}$MN，再根据AN=$\frac{1}{2}$AC=4，得出ON=4-3=1，进而得出MN的值．

解答（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠DBC=30°，
∴在Rt△AOD和Rt△BOC中，OA=$\frac{1}{2}$AD，OC=$\frac{1}{2}$BC，
∴AC=OA+OC=$\frac{1}{2}$（AD+BC），
∵EF=$\frac{1}{2}$（AD+BC），
∴AC=EF；

（2）解：∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠DBC=30°，
∴在Rt△AOD和Rt△BOC中，OA=$\frac{1}{2}$AD，OC=$\frac{1}{2}$BC，
∵OD=3$\sqrt{3}$，OC=5，
∴OA=3，
∵AD∥EF，
∴∠ADO=∠OMN=30°，
∴ON=$\frac{1}{2}$MN，
∵AN=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$（OA+OC）=4，
∴ON=AN-OA=4-3=1，
∴MN=2ON=2．