Question

8．已知如图所示，在?ABCD中，∠A=60°，E，F分别是AB，CD中点，AB=2AD．求证：BD=$\sqrt{3}$EF．

Answer 1

分析 先连接，DE构造平行四边形，再利用平行四边形及等边三角形的性质解答．

解答 证明：连结DE，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵DF=$\frac{1}{2}$CD，AE=$\frac{1}{2}$AB，
∴DF=AE，DF∥AE，
∴四边形ADFE是平行四边形．
∴EF=AD，
∴AB=2AE，
∴AD=AE．
∴∠1=∠4．
∵∠A=60°，∠1+∠4+∠A=180°，
∴∠1=∠A=∠4=60°．
∴△ADE是等边三角形，
∴DE=AE．
∵AE=BE，
∴DE=BE，
∴∠2=∠3．
∵∠1=∠2+∠3，∠1=60°，
∴∠2=∠3=30°．
∴∠ADB=∠3+∠4=90°
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}=\sqrt{（2AD）^{2}-A{D}^{2}}=\sqrt{3}AD$，
∴BD=$\sqrt{3}$EF．

点评 本题考查了平行四边形的性质和判定，解答此题的关键是构造平行四边形，用平行四边形及等边三角形的性质，直角三角形的性质解答．