Question

9．如图，△ABC中，AB=AC，⊙O为△ABC外接圆，BD为⊙O直径，DB交AC于E．连接AO
（1）求证：AO⊥BC；
（2）若$\frac{BE}{DE}$=$\frac{7}{3}$，求$\frac{AE}{CE}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据弦、弧、圆心角的关系得到$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，根据垂径定理证明结论；
（2）连接DC，根据圆周角定理得到∠BCD=90°，得到AO∥DC，根据平行线分线段成比例定理计算即可．

解答 （1）证明：∵AB=AC，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，
∴AO⊥BC；
（2）解：连接DC，
∵$\frac{BE}{DE}$=$\frac{7}{3}$，
∴$\frac{OE}{ED}$=$\frac{2}{3}$，
∵BD为⊙O直径，
∴∠BCD=90°，又AO⊥BC，
∴AO∥DC，
∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{OE}{ED}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查的是三角形的外接圆和外心、垂径定理的应用、圆周角定理的应用，掌握垂径定理、直径所对的圆周角是直角、平行线分线段成比例定理是解题的关键．