Question

4．如图，A、B是直线a上的两个定点，点C、D在直线b上运动（点C在点D的左侧），AB=CD=4，已知a∥b，且a与b间的距离为$\sqrt{3}$，连接AC、BD、BC，把△ABC沿BC折叠得△A₁BC．
（1）当A₁、D两点重合时，在图1中画出相应图形，并直接给出AC的长度；
（2）当A₁、D两点不重合时，如图2，连接A₁D，请直接说出A₁D与BC的位置关系；
（3）如图3，以A₁、C、B、D为顶点的四边形的面积是否存在最大值，若存在，求出该四边形的面积的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由△ABC沿BC折叠得△A₁BC，AC=CD，即可；
（2）根据折叠的性质得到∠A₁BC=∠ABC，根据平行线的性质得到∠A₁BC=∠BCD，推出∠BA₁D=∠A₁DC，根据平行线的判定定理即可得到结论；
（3）当以A₁、C、B、D为顶点的四边形是矩形时，四边形的面积的最大，Ⅰ、过点C作CE⊥AB，垂足为点E，根据矩形的性质得到∠ACB=∠A₁CB=90°，根据相似三角形的性质得到CE²=AE×BE，列方程得到A₁C，BC，于是得到结论；Ⅱ、如图2，当BC⊥AB时，A₁点在AB上，根据矩形的面积公式即可得到结论．

解答 解：（1）当A₁D两点重合时，
由△ABC沿BC折叠得△A₁BC，
∴AC=CD，
∵CD=4，
∴AC=4
故答案为4；
（2）A₁D∥BC，
理由如下：设A₁B、CD相交于点O．
由翻折可知：∠A₁BC=∠ABC，
∵a∥b，
∴∠A₁BC=∠BCD，
∴OC=OB，
∵AB=A₁B=CD，
∴A₁O=DO，
∴∠BA₁D=∠A₁DC，
∵∠BA₁D+∠A₁DC=∠A₁BC+∠BCD=∠BOD，
∴2∠BA₁D=2∠A₁BC，
即∠BA₁D=∠A₁BC，
∴A₁D∥BC；
（3）∵C、D是动点，AB=A1B=4，
∴A₁运动的轨迹是以B为圆心，4为半径的部分圆弧，当A₁处在直线a以下的圆弧部分并且A₁B⊥直线a时，以A₁、C、B、D为顶点的四边形的面积的最大，
∵A₁B⊥AB，
∴△AA₁B是等腰直角三角形，
∴BC=$\sqrt{6}$，
∵BC∥A₁D，
∴四边形BA₁DC是等腰梯形，
∴梯形的高为2$\sqrt{2}$，
∴A₁B=4$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，
∴S${\;}_{四边形{A}_{1}CBD}$=$\frac{1}{2}$（4$\sqrt{2}$+2$\sqrt{6}$）×2$\sqrt{2}$=8+4$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了相似三角形的性质和判定，对折的性质，矩形的性质，平行线的判定和性质，建立方程是解本题的关键．