题目内容
如图，已知四边形OABC、四边形OADE、四边形OFGH都是正方形．
（1）如图①，正方形OFGH的顶点F、H分别在边OA、OC上，连接AH、CF、EF，点M为CF的中点，连接OM，则线段AH与OM之间的数量关系是 ，位置关系是
（2）如图②，将图①中的正方形OFGH绕点O顺时针旋转，旋转角为α（0＜α＜90°），其它条件不变，判断（1）中的两个结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图③，将将图①中的正方形OFGH绕点O顺时针旋转90°，使得点H落在边OA上，点F落在边OE上，点M为线段CF的中点，请你判断线段AH与OM之间的数量关系是否发生变化，写出你的猜想，并加以证明．
（1）如图①，正方形OFGH的顶点F、H分别在边OA、OC上，连接AH、CF、EF，点M为CF的中点，连接OM，则线段AH与OM之间的数量关系是
（2）如图②，将图①中的正方形OFGH绕点O顺时针旋转，旋转角为α（0＜α＜90°），其它条件不变，判断（1）中的两个结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图③，将将图①中的正方形OFGH绕点O顺时针旋转90°，使得点H落在边OA上，点F落在边OE上，点M为线段CF的中点，请你判断线段AH与OM之间的数量关系是否发生变化，写出你的猜想，并加以证明．
考点：四边形综合题,全等三角形的判定与性质,三角形中位线定理,正方形的性质
专题：证明题
分析：（1）易证△HOA≌△FOE，从而得到AH=EF，∠OAH=∠OEF；再根据三角形的中位线定理得到OM∥EF，EF=2OM，进而可以证到AH=2OM，AH⊥OM．
（2）在图形旋转过程中，由于条件没有改变，故可借鉴（1）中的解题经验，同样可以证到AH=2OM，AH⊥OM．
（3）由条件可得：OA=OE=OC，OH=OF．CF=2CM，从而由AH=EF=CE-CF即可证到AH=2OM．
（2）在图形旋转过程中，由于条件没有改变，故可借鉴（1）中的解题经验，同样可以证到AH=2OM，AH⊥OM．
（3）由条件可得：OA=OE=OC，OH=OF．CF=2CM，从而由AH=EF=CE-CF即可证到AH=2OM．
解答：解：（1）如图①，
∵四边形OABC、四边形OADE、四边形OFGH都是正方形，
∴OA=OE，OH=OF，∠HOA=∠FOE=90°．
在△HOA和△FOE中，
．
∴△HOA≌△FOE（SAS）．
∴AH=EF，∠OAH=∠OEF．
∵点O为CE的中点，点M为CF的中点，
∴OM∥EF，EF=2OM．
∴AH=2OM．
∵OM∥EF，
∴∠COM=∠CEF．
∴∠COM=∠HAO．
∵∠COM+∠MOA=90°，
∴∠HAO+∠MOA=90°．
∴AH⊥OM．
故答案分别为：AH=2OM，AH⊥OM．
（2）如图②，
（1）中的两个结论仍然成立．
证明：∵四边形OABC、四边形OADE、四边形OFGH都是正方形，
∴OA=OE，OH=OF，∠HOF=∠AOE=90°．
∴∠HOA=∠FOE．
在△HOA和△FOE中，
．
∴△HOA≌△FOE（SAS）．
∴AH=EF，∠OAH=∠OEF．
∵点O为CE的中点，点M为CF的中点，
∴OM∥EF，EF=2OM．
∴AH=2OM．
∵OM∥EF，
∴∠COM=∠CEF．
∴∠COM=∠HAO．
∵∠COM+∠MOA=90°，
∴∠HAO+∠MOA=90°．
∴AH⊥OM．
（3）如图③，
猜想：AH=2OM．
证明：∵四边形OABC、四边形OADE、四边形OFGH都是正方形，
∴OA=OE=OC，OH=OF．
∴AH=EF．
∵点M是CF的中点，
∴CF=2CM．
∴AH=EF=CE-CF=2OC-2CM=2（OC-CM）=2OM．
∵四边形OABC、四边形OADE、四边形OFGH都是正方形，
∴OA=OE，OH=OF，∠HOA=∠FOE=90°．
在△HOA和△FOE中，
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∴△HOA≌△FOE（SAS）．
∴AH=EF，∠OAH=∠OEF．
∵点O为CE的中点，点M为CF的中点，
∴OM∥EF，EF=2OM．
∴AH=2OM．
∵OM∥EF，
∴∠COM=∠CEF．
∴∠COM=∠HAO．
∵∠COM+∠MOA=90°，
∴∠HAO+∠MOA=90°．
∴AH⊥OM．
故答案分别为：AH=2OM，AH⊥OM．
（2）如图②，
（1）中的两个结论仍然成立．
证明：∵四边形OABC、四边形OADE、四边形OFGH都是正方形，
∴OA=OE，OH=OF，∠HOF=∠AOE=90°．
∴∠HOA=∠FOE．
在△HOA和△FOE中，
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∴△HOA≌△FOE（SAS）．
∴AH=EF，∠OAH=∠OEF．
∵点O为CE的中点，点M为CF的中点，
∴OM∥EF，EF=2OM．
∴AH=2OM．
∵OM∥EF，
∴∠COM=∠CEF．
∴∠COM=∠HAO．
∵∠COM+∠MOA=90°，
∴∠HAO+∠MOA=90°．
∴AH⊥OM．
（3）如图③，
猜想：AH=2OM．
证明：∵四边形OABC、四边形OADE、四边形OFGH都是正方形，
∴OA=OE=OC，OH=OF．
∴AH=EF．
∵点M是CF的中点，
∴CF=2CM．
∴AH=EF=CE-CF=2OC-2CM=2（OC-CM）=2OM．
点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线定理等知识，渗透了变中有不变的辩证思想，是一道好题．
练习册系列答案
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