Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，D为AC的中点，过点作CF⊥BD交BD的延长线于点F，过点作AE⊥AF于点．
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）过点作AH⊥BF于点H，求证：CF=EH．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）利用直角关系得出∠BAE=∠CAF，∠ABD=∠DCF，即可得出△ABE≌△ACF，
（2）由△ABE≌△ACF，得出AE=AF，再由等腰直角三角形得出AH=EH，再证得△ADH≌△CDF即可得出CF=EH

解答：证明：（1）∵AE⊥AF，∠CAB=90°，
∴∠EAF=∠CAB=90°
∴∠EAF-∠EAC=∠CAB-∠EAC即∠BAE=∠CAF，
∵CF⊥BD，
∴∠BFC=90°=∠CAB，
∴∠BDA+∠ABD=90°，∠DCF+∠FDC=90°，
∵∠ADB=∠FDC，
∴∠ABD=∠DCF，
在△ABE和△ACF中，

∠BAE=∠CAF AB=AC ∠ABD=∠DCF

，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
（2）∵由（1）知△ABE≌△ACF，
∴AE=AF，
∵∠EAF=90°，
∴∠AEF=∠AFE=45°，
∵AH⊥BF，
∴∠AHF=∠AHE=90°=∠CFH，
∴∠EAH=180°-∠AHE-∠AEF=45°=∠AEF，
∴AH=EH，
∵D为AC中点，
∴AD=CD，
在△ADH和△CDF中，

∠AHF=∠CFH ∠ADB=∠FDC AD=CD

，
∴△ADH≌△CDF（AAS），
∴AH=CF，
∴EH=CF．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是能根据角和边的关键得出三角形全等．