Question

8．将一块正方形和一块等腰直角三角形如图1摆放．
（1）如果把图1中的△BCN绕点B逆时针旋转90°，得到图2，则∠GBM=45°；
（2）将△BEF绕点B旋转．
①当M，N分别在AD，CD上（不与A，D，C重合）时，线段AM，MN，NC之间有一个不变的相等关系式，请你写出这个关系式：MN=AM+CN；（不用证明）
②当点M在AD的延长线上，点N在DC的延长线时（如图3），①中的关系式是否仍然成立？若成立，写出你的结论，并说明理由；若不成立，写出你认为成立的结论，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由旋转的性质得∠GBA=∠CBN，于是得到∠ABM+∠GBA=45°，即可得到结论；
（2）①根据旋转的性质得到∠GAB=∠C=90°，AG=CN，BG=BN，∠ABG=∠CBN，得到D，A，G三点共线，根据全等三角形的性质得到GM=MN，于是得到结论；
②在AM上截取AG，使得AG=CN，连结BG；根据正方形的性质得到AB=BC，∠A=∠BCN=90°，根据全等三角形的性质得到BG=BN，∠ABG=∠NBC，根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）在正方形ABCD和等腰直角△BEF中，
∵∠ABC=90°，
∴∠EBF=45°，
∴∠ABM+∠CBN=45°，
由旋转的性质得∠GBA=∠CBN，
∴∠ABM+∠GBA=45°，
即∠GBM=45°，
故答案为：45°；

（2）①AM+NC=MN；
理由：∵把图1中的△BCN绕点B逆时针旋转90°得到△ABG，
∴∠GAB=∠C=90°，AG=CN，BG=BN，∠ABG=∠CBN，
∴∠GAB+∠DAB=180°，
∴D，A，G三点共线，
∴∠ABM+∠GBA=45°，
∴∠GBM=∠MBN，
在△GBM与△NBM中，$\left\{\begin{array}{l}{BG=BC}\\{∠GBM=∠CBM}\\{BM=BM}\end{array}\right.$，
∴△GBM≌△NBM，
∴GM=MN，
∵GM=AG+AM=CN+AM，
∴MN=AM+CN；
故答案为：MN=AM+CN；
②上面的式子不成立，结论是：AM-NC=MN，
理由：在AM上截取AG，使得AG=CN，连结BG；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠BCN=90°，
在△BAG与△BCN中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠A=∠BCN=90°}\\{AG=CN}\end{array}\right.$，
∴△BAG≌△BCN，
∴BG=BN，∠ABG=∠NBC，
∴∠MBN=∠MBC+∠CBN=∠MBC+∠ABG=45°=∠GBM，
在△BGM与△BMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{BG=BN}\\{∠GBM=∠NBM}\\{BM=BM}\end{array}\right.$，
∴△BGM≌△BNM，
∴GM=NM，
∴AM-CN=MN．

点评 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．