Question

12．在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在直线AC上，连接BD，过点A作直线BD的垂线，垂足为E，直线AE与直线BC交于点F．
（1）当点D在线段AC上时，如图1，求证：AD+CF=BC；
（2）当点D在AC的延长线上时，过点E作EH⊥AB于H，连接CH，如图2，若∠CBD=15°，AH=3，求△BCH的面积．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件证明△BCD≌△ACF，得到CD=CF，所以AD+CF=AD+CD=AC=BC，即AD+CF=BC．
（2）根据∠CBD=15°，∠ABC=45°，得到∠ABE=60°，∠BAE=30°，利用在直角三角形AHE中 $\frac{EH}{AH}$=tan30° 得EH=$\sqrt{3}$EA=2$\sqrt{3}$，在直角三角形EHB中，$\frac{HB}{EH}$=tan30°，得BH=1，AB=BH+HA=4，在直角三角形ACB中，$\frac{AC}{AB}$=sin45°得AC=BC=2$\sqrt{2}$，如图2，过C做垂线CG垂直AB于G，求得得CG=2，即可得到三角形CHB面积为$\frac{1}{2}•GC•HB$=$\frac{1}{2}×2×1$=1．

解答 解：（1）当D在线段AC上时，
∵BC垂直DC于C点，AE垂直DE于E点，
∴∠BCA=∠AED=90°，
∵∠ADE=∠BDC，
∴∠EAD=∠CBD，
在△BCD和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAD=∠DBC}\\{AC=BC}\\{∠ACF=∠BCD=9{0}^{°}}\end{array}\right.$
∴△BCD≌△ACF，
∴CD=CF，
∴AD+CF=AD+CD=AC=BC，
即AD+CF=BC．
（2）∵∠CBD=15°，∠ABC=45°，
∴∠ABE=60°，∠BAE=30°，
∴在直角三角形AHE中 $\frac{EH}{AH}$=tan30°
得EH=$\sqrt{3}$EA=2$\sqrt{3}$，
在直角三角形EHB中，$\frac{HB}{EH}$=tan30°
得BH=1，
AB=BH+HA=4
在直角三角形ACB中，$\frac{AC}{AB}$=sin45°
得AC=BC=2$\sqrt{2}$，
如图2，过C作垂线CG垂直AB于G，

在直角三角形CGB中，$\frac{CG}{CB}$=sin45°
得CG=2，
∴三角形CHB，面积为$\frac{1}{2}•GC•HB$=$\frac{1}{2}×2×1$=1．

点评 本题考查了全等三角形的性质与判定，三角函数的应用，在（1）中解决问题的关键是证明△BCD≌△ACF，在（2）中解决问题的关键是利用三角函数求得三角形的边长．