Question

已知：如图1，在面积为3的正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD边上的两点，AE⊥BF于点G，且BE=1．
（1）求出△ABE和△BCF重叠部分（即△BEG）的面积；
（2）现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′（如图2），使点E落在CD边上的点E′处，问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）如图，证明△BGE∽△ABE．得到

S△BGE

S△ABE

=(

BE

AE

)2；求出AE的长度，即可解决问题．
（2）如图，证明∠BAE=30°；证明△ADE′≌△AB′E′，得到∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°；得到AB′与AE在同一直线上；证明△BAG≌△HAG，得到S_{四边形GHE′B′}=S_△AB′E′-S_△AGH=S_△ABE-S_△ABG=S_△BGE，即可解决问题．

解答：解：（1）如图，∵正方形面积为3，
∴AB=

3

．
在△BGE与△ABE中，
∵∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，
∴△BGE∽△ABE．
∴

S△BGE

S△ABE

=(

BE

AE

)2．
又∵BE=1，
∴AE²=AB²+BE²=3+1=4．
∴AE=2；
∴S△BGE=

BE2

AE2

•S△ABE=

1

4

×

3

2

=

3

8

．
（2）没有变化．   理由如下：
∵AB=

3

，BE=1，
∴tan∠BAE=

1

3

=

3

3

．
∴∠BAE=30°．
在△ADE′与△AB′E′中，

AE′=AE′ AD=AB′

，
∴△ADE′≌△AB′E′（HL），
∴∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°．   
∴AB′与AE在同一直线上，
即BF与AB′的交点是G．
设BF与AE′的交点为H，
则∠BAG=∠HAG=30°；
在△BAG与△HAG中，

∠BAG=∠HAG AG=AG ∠AGB=∠AGH

，
∴△BAG≌△HAG（ASA），
∴S_{四边形GHE′B′}=S_△AB′E′-S_△AGH=S_△ABE-S_△ABG=S_△BGE，
∴△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积没有变化．

点评：该题主要考查了全等三角形的判定及其性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；解题的关键是认真观察图形，找出图形中隐含的等量关系或全等关系．