Question

2．如图所示，点C在线段AB上，点M、N分别是AC，CB的中点．
（1）若AC=8cm，CB=6cm，求线段MN的长；
（2）若C为直线AB上线段AB之外的任意一点，其它条件不变，且AC=m，CB=n，求线段MN的长．

Answer 1

分析 （1）点M是线段AC中点，则MC=$\frac{1}{2}$AC，点N的线段BC中点，所以CN=$\frac{1}{2}$CB，AC+BC=AB，AB已知，从而可求出MN长度．
（2）当点C在线段AB的延长线上时，MN等于MC减去$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$n，而MC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$m，从而可求出MN长度；当点C在线段BA的延长线上时，MN等于NC减去MC，NC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$n，MC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$m，从而可求出MN的长度．

解答 解：（1）∵点M、N分别是AC，CB的中点，
∴MN=MC+CN=$\frac{1}{2}$AC+$\frac{1}{2}$CB=4+3=7（cm）；
（2）当点C在线段AB的延长线上时，
∵点M、N分别是AC，CB的中点，
∴MC=$\frac{1}{2}$AC，CN=$\frac{1}{2}$CB，
∴MN=CM-CN=$\frac{1}{2}$AC-$\frac{1}{2}$CB=$\frac{1}{2}$（m-n）；
当点C在线段BA的延长线上时，
∵点M、N分别是AC，CB的中点，
∴MC=$\frac{1}{2}$AC，CN=$\frac{1}{2}$CB，
∴MN=CN-CM=$\frac{1}{2}$BC-$\frac{1}{2}$CA=$\frac{1}{2}$（n-m）；
综上所述：MN=$\frac{1}{2}$|m-n|．

点评 本题主要考查了两点间的距离，解决问题的关键是根据题中图形得到各线段之间的关系，而第（2）问要分情况讨论，M在AB不同侧时有不同的情况，分析各情况得到MN的表达式．