题目内容
已知：在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，DM⊥BC交AC于点E，交BA的延长线于点D，求证：（1）MA2=MD•ME；
（2）
| AE2 |
| AD2 |
| ME |
| MD |
考点：相似三角形的判定与性质
专题：证明题
分析：（1）根据直角三角形的性质可以求出∠D=∠C，AM=CM，就可以求出∠D=∠MAE，就可以求出△EMA∽△AMD，得出
=
而得出结论；
（2）根据△EMA∽△AMD就可以得出
=
=
，就可以得出结论．
| MA |
| MD |
| EM |
| MA |
（2）根据△EMA∽△AMD就可以得出
| AE |
| AD |
| EM |
| AM |
| AM |
| MD |
解答：证明：（1）∵DM⊥BC，
∴∠BMD=90°，
∴∠B+∠D=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠D=∠C．
∵M是BC的中点，
∴AM=MC=
BC，
∴∠MAE=∠C．
∴∠MAE=∠D．
∵∠AME=∠AMD，
∴△EMA∽△AMD，
∴
=
，
∴MA2=MD•ME；
（2）∵△EMA∽△AMD，
∴
=
=
，
∴
=
，
=
，
∴
•
=
•
，
∴
=
．
∴∠BMD=90°，
∴∠B+∠D=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠D=∠C．
∵M是BC的中点，
∴AM=MC=
| 1 |
| 2 |
∴∠MAE=∠C．
∴∠MAE=∠D．
∵∠AME=∠AMD，
∴△EMA∽△AMD，
∴
| MA |
| MD |
| EM |
| MA |
∴MA2=MD•ME；
（2）∵△EMA∽△AMD，
∴
| AE |
| AD |
| EM |
| AM |
| AM |
| MD |
∴
| AE |
| AD |
| EM |
| AM |
| AE |
| AD |
| AM |
| MD |
∴
| AE |
| AD |
| AE |
| AD |
| EM |
| AM |
| AM |
| MD |
∴
| AE2 |
| AD2 |
| ME |
| MD |
点评：本题考查了中点的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时证明三角形相似是关键．
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