Question

16．【发现】如图1∠ACB=∠ADB=90°，
那么点D在经过A，B，C三点的圆上（如图1①）
【思考】
如图1②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（点C，D在AB的同侧），那么点D还在经过A，B，C三点的圆上吗？图中卡通人证明了D不在⊙O外，请你画图证明点D也不在⊙O内．

【应用】：利用【发现】和【思考】中的结论解决以下问题：
如图2，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CA=6，$cos∠CAB=\frac{1}{3}$，若将△ACB绕点A顺时针旋转得Rt△AC′B′，旋转角为α（0°≤α≤180°）连结CC′交BB′于点F，交AB边于点O．
（1）请证明：∠BFO=∠CAO．
（2）若CA=CO=6，求则OF的长．
（3）在运动过程中，请证明F永远是BB′的中点，并直接写出点F的运动路线长．

Answer 1

分析 【思考】假设点D在⊙O内，利用圆周角定理及三角形外角的性质，可证得与条件相矛盾的结论，从而证得点D不在⊙O内；
【应用】：（1）过C作CD⊥AB于点D，BH⊥CF于H，由已知条件得到AD=DO，解直角三角形得到AD=$\frac{1}{3}$AC=2，得到BO=AB-AO=18-4=14，
根据旋转的性质得到AC=AC′，AB=AB′，∠CAC′=∠BAB′，推出A，F，B，C四点共圆，于是得到结论；（2）由等腰三角形的性质得到∠COA=∠CAO，根据三角形的内角和得到∠BOF=∠BFO，根据等腰三角形的性质得到BF=BO=14，于是得到结论；
（3）连接AF，根据圆周角定理得到∠ABC=∠AFC根据等腰三角形的性质得到F永远是BB′的中点；根据圆周角定理得到在运动过程中，点F的运动路线是以AB为直径的半圆，即可得到结论．

解答 解：【思考】如图1，假设点D在⊙O内，延长AD交⊙O于点E，连接BE，则∠AEB=∠ACB，
∵∠ADB是△BDE的外角，
∴∠ADB＞∠AEB，
∴∠ADB＞∠ACB，
因此，∠ADB＞∠ACB这与条件∠ACB=∠ADB矛盾，
∴点D也不在⊙O内，
∴点D即不在⊙O内，也不在⊙O外，点D在⊙O上；

【应用】：（1）如图2，过C作CD⊥AB于点D，BH⊥CF于H，
∵CA=CO，
∴AD=DO，
在Rt△ACB中，cos∠CAB=$\frac{1}{3}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{6}{AB}$，
∴AB=3AC=18，
在Rt△ADC中：cos∠CAB=$\frac{1}{3}$=$\frac{AD}{AC}$，
∴AD=$\frac{1}{3}$AC=2，
∴AO=2AD=4，
∴BO=AB-AO=18-4=14，
∵△AC′B′是由△ACB旋转得到，
∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAC′=∠BAB′，
∵∠ACC′=$\frac{1}{2}$（180°-∠CAC′），∠ABB′=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAB′），
∴∠ABB′=∠ACC′，
∴A，F，B，C四点共圆，
∴∠BFO=∠CAO；

（2）∵CA=CO，
∴∠COA=∠CAO，
又∵∠COA=∠BOF（对顶角相等），
∴∠BOF=∠BFO，
∴BF=BO=14，
∵$cos∠CAB=\frac{1}{3}$，
∴HF=$\frac{7\sqrt{10}}{5}$，
∴OF=2HF=$\frac{14\sqrt{10}}{5}$；

（3）如图2，连接AF，
∵A，F，B，C四点共圆，
∴∠ABC=∠AFC，
∵∠ABC+∠CAB=90°，
∴∠BFO+∠AFC=90°，
∴AF⊥BB′，
∵AB=AB′，
∴BF=B′F；
∴F永远是BB′的中点；
∵∠AFB=90°，
∴在运动过程中，点F的运动路线是以AB为直径的半圆，
∵CA=6，$cos∠CAB=\frac{1}{3}$，
∴AB=18，
∴点F的运动路线长=$\frac{1}{2}$×18π=9π．

点评 本题综合考查了圆周角定理、反证法、三角形外角的性质、三角形的内角和定理，点和圆的位置关系、切线的判定、矩形的判定和性质以及解直角三角形等知识，熟练掌握性质定理是解题的关键．