Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD⊥BC于点D，直径CF⊥AB于点E，AD、CF交于点H．
（1）求证：EF=EH；
（2）若

OE

CD

=

5

8

，AC=4，求BD的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,勾股定理,垂径定理,圆周角定理

专题：

分析：（1）连接AF，运用△AEF≌△AEH求出EF=EH；
（2）运用△BEO∽△ADC，求出半径BO的长，利用勾股定理求出AF的长，再由△CEA∽△CAF，求出CE，运用勾股定理可出BE，再解出AD，最后运用勾股定理求出BD．

解答：解：如图1，连接AF，

∵∠AEH=∠CDH=90°，∠AHE=∠CHD，
∴∠BAD=∠BCF，
∵∠BCF=∠BAF，
∴∠BAD=∠BAF，即∠FAE=∠HAE，
在△AEF和△AEH中，

∠FAE=∠HAE AE=AE ∠AEF=∠AEH

，
∴△AEF≌△AEH（ASA），
∴EF=EH；
（2）如图2，连接AF，

∵直径CF⊥AB于点E，
∴∠ACD=2∠BCF，
∵∠BOF=2∠BCF，
∴∠BOE=∠CAD，
∵∠ADC=∠BEO=90°，
∴△BEO∽△ADC，
∴

BO

AC

=

OE

CD

，
∵

OE

CD

=

5

8

，AC=4，
∴

BO

4

=

5

8

，
∴BO=

5

2

，
∴FC=2BO=5，
∴在RT△CAF中，AF=

FC2-AC2

=

52-42

=3，
∵△CEA∽△CAF，
∴

CE

AC

=

AC

FC

，即

CE

4

=

4

5

，
∴CE=

16

5

，
∴AE=

AC2-CE2

=

42-( 16 5 )2

=

12

5

，
∵BE=AE=

12

5

，
∵

BE

AD

=

5

8

，
∴AD=

96

25

，
在RT△ADB中，
BD=

AB2-AD2

=

( 24 5 )2-( 96 25 )2

=

72

25

．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理及垂径定理等知识，解题的关键是要把三角形相似及勾股定理相结合求出BD．