Question

如图，在正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是AB延长线上一点，点F是边AD上一点，BE=DF，连接EF，分别交AC、BD于点H、G，连接AG．若AB=3，FH：HE=1：2，则线段AG的长为

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：过点F作FM⊥AD，交BD于M，过H作HN⊥AB于N，先证得DF=FM=BE，AN=HN，再证得△FMG≌△EBG，得出FG=EG，然后通过平行线分线段定理证得AN：AE=FH：FE，FA：HN=FE：EH，根据已知得出AN：AE=1：3，EH：AF=2：3，从而求得DF=BE的长，进而求得AF、BE的长，根据勾股定理求得EF，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得．

解答：解：过点F作FM⊥AD，交BD于M，过H作HN⊥AB于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA⊥AB，∠FDO=∠HAN=45°，
∴FM∥AE，HN∥AD，∠DMF=∠一半AHN=45°，
∴DF=FM，AN=HN，∠MFG=∠GEB，
∵DF=BE，
∴FM=BE，
在△FMG与△EBG中，

∠MFG=∠GEB ∠FGM=∠EGB FM=BE

，
∴△FMG≌△EBG（AAS），
∴FG=EG，
∵HN∥AD，
∴AN：AE=FH：FE，FA：HN=FE：EH，
∵FH：HE=1：2，AB=3，
∴FH：FE=1：3，FE：EH=3：2，
∴AN：AE=1：3，EH：AF=2：3，
设AN=HN=m，DF=BE=n，
∴

m

3+n

=

1

3

，

m

3-n

=

2

3

，
整理得：

3+n=3m 6-2n=3m

解得n=1，
∴DF=BE=1，
∴AF=3-1=2，AE=3+1=4，
∴EF=

42+22

=2

5

，
在RT△AEF中，FG=EG，
∴AG=

1

2

EF=

5

．

点评：本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理的应用以及三角形全等的判定和性质；作出辅助线，构建等腰直角三角形和应用平行线成比例定理是本题的关键．