Question

14．正方形ABCD，等腰Rt△CDE，点P是AB上一动点，连接CP，点F是CP的中点，作∠AFG=90°交DE于点G，求证：AF=GF．

Answer 1

分析 延长AF交DC的延长线于H，连接GH，作GM⊥CD于M，GN⊥AD交AD的延长线于N，CD交AG于O．首先证明△PAF≌△GHF，推出AF=FH，由FG⊥AH，推出GA=GH，由△DCE是等腰直角三角形，推出∠CDE=45°，易证四边形DMGN是正方形，推出GN=GM，可得Rt△ANG≌Rt△HMG，推出∠AGN=∠HGM，推出∠AGH=∠MGN=90°，推出△AGH是等腰直角三角形，即可解决问题．

解答 证明：延长AF交DC的延长线于H，连接GH，作GM⊥CD于M，GN⊥AD交AD的延长线于N，CD交AG于O．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥DH，
∴∠PAF=∠GHF，
∵∠AFP=∠HFG，PF=FG，
∴△PAF≌△GHF，
∴AF=FH，
∵FG⊥AH，
∴GA=GH，
∵△DCE是等腰直角三角形，
∴∠CDE=45°，易证四边形DMGN是正方形，
∴GN=GM，
∴Rt△ANG≌Rt△HMG，
∴∠AGN=∠HGM，
∴∠AGH=∠MGN=90°，
∴△AGH是等腰直角三角形，
∴AF=FH，
∴FG=AF=FH．
∴AF=GF．

点评 本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．