Question

已知如图，△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的直径BD交AC于E，AF⊥BD于F，AF的延长线交BC于G，求证AB²＝BG·BC．

Answer 1

答案：
解析：

分析：由题目的结论想到证△BAG∽△BCA，但只有公共角一个条件，还需寻求另一对角相等，添加辅助线通过等角代换实现转化． 　　证明连结AD． 　　∵BC是⊙O直径，∠BAD＝90°， 　　∵BF⊥BD，∠BAG与∠D同为∠ABD的余角， 　　∴∠BAG＝∠D， 　　∵∠D＝∠C， 　　∴∠BAG＝∠C． 　　∵∠ABG＝∠CBA， 　　∴△BAG∽△BCA， 　　∴， 　　∴AB2＝BG·BC． 　　通过等角转化，使问题变得明朗化．若延长AG交⊙O于F，通过等弧也能有效实现等角转化．