Question

已知如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，弦EF经过BC边的中点D，且EF∥BA，若⊙O的半径为

4 3

3

，则DE的长为（　　）

• A、

  3

  -1
• B、

  5 +1

  2

• C、

  5

  -1
• D、

  3 +1

  2

Answer 1

分析：根据等边三角形的性质求得圆的半径，然后根据中位线定理求得DG的长，利用勾股定理求得EG，即可求得EF的长，根据ED=

EF-DG

2

即可求解．

解答：解：连接OC交EF于M，延长CM交AB于点H．连接OA，连接OE．
在直角△OAH中，AH=OA•cos30°=

4 3

3

×

3

2

=2
∴AB=2AH=4
又∵弦EF经过BC边的中点D，且EF∥BA．
∴DG=

1

2

AB=2，
在直角△ACH中，CH=AC•sin60°=4×

3

2

=2

3

，
∴OH=

1

3

CH=

2 3

3

，
HM=

1

2

CH=

3

，
∴OM=HM-OH=

3

3

，
在直角△OME中，EM=

OE2-OM2

=

5

，
∴EF=2

5

，
∴ED=

EF-DG

2

=

5

-1．
故选C．

点评：本题主要考查了勾股定理以及垂径定理，三角形的中位线定理，利用垂径定理正确求得EF的长是解题的关键．