Question

20．已知函数y=x²+kx-3（k＞0）图象的顶点坐标为C，并与x轴相交于A、B，且AB=4．
（1）求实数k的值；
（2）若P是上述抛物线上的一个动点（除点C外），求使S_△ABP=S_△ABC成立的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）设抛物线与x轴的交点坐标是（x₁，0）和（x₂，0）．则x₁+x₂=-k，x₁•x₂=-3．根据AB=4，即可列方程求得k的值；
（2）首先求得C的坐标，根据S_△ABP=S_△ABC，则P的纵坐标的绝对值与C的纵坐标的绝对值相等，据此即可求得P的坐标．

解答 解：（1）设抛物线与x轴的交点坐标是（x₁，0）和（x₂，0）．
则x₁+x₂=-k，x₁•x₂=-3．
∵AB=|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{{k}^{2}+12}$=4，
∴k²+12=16，
∴k=2或-2．（舍去）．
则k=2；
（2）y=x²+2x-3=（x+1）²-4，则抛物线顶点C的坐标是（-1，-4）．
当y=4时，x²+2x-3=4，解得：x₁=-1+2$\sqrt{2}$或x₂=-1-2$\sqrt{2}$．
则P的坐标是（-1+2$\sqrt{2}$，4）或（-1-2$\sqrt{2}$，4）．

点评 本题考查了二次函数以及一元二次方程根与系数的关系，正确求得k的值是关键．