Question

如图，已知等边△ABC，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作⊙O的切线DF交AC于点F，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，过点F作FG⊥AB，垂足为点G，连结GD．

（1）求证：DF⊥AC；

（2）若AB=8，求tan∠FGD的值．

Answer 1

（1）证明：如图，

连接OD，

∵DF是⊙O的切线，

∴DF⊥OD．

∵△ABC为等边三角形，

∴∠A=∠B=60°，

∵OD=OB，

∴△ODB是等边三角形，

∴∠DOB=60°，

∴∠DOB=∠A，

∴OD∥AC，

∴DF⊥AC．

（2）解：∵FG⊥AB，DE⊥AB，

∴FG∥DE，

∴∠FGD=∠GDE，

由（1）得△OBD是等边三角形，

∴BE=OB=×4=2．

∴DE=BE=2．

在Rt△CFD中，∠C=60°，CD=BC﹣BD=8﹣4=4，

∴CF=CD=2．

在Rt△AFG中，∠A=60°，

AF=AC﹣CF=8﹣2=6，

∴AG=AF=3，

在Rt△GDE中．

GE=AB﹣AG﹣BE=8﹣3﹣2=3，

∴tan∠GDE===，

∴tan∠FGD=．