Question

如图，已知二次函数y=x²+bx+b的图象与x轴交于A、B两点（B在A的左侧），顶点为C，点D（1，m）在此二次函数图象的对称轴上，过点D作y轴的垂线，交对称轴右侧的抛物线于E点．

（1）求此二次函数的解析式和点C的坐标；

（2）当点D的坐标为（1，1）时，连接BD、BE．求证：BE平分∠ABD．

Answer 1

       解：（1）∵点D（1，m）在y=x²+bx+b图象的对称轴上，

∴﹣=1．

∴b=﹣2．

∴二次函数的解析式为y=x²﹣2x﹣3．

∵y=x²﹣2x﹣3=（x﹣1）²﹣4，

∴C（1，﹣4）．

（2）∵D（1，1），且DE垂直于y轴，

∴点E的纵坐标为1，DE平行于x轴．

∴∠DEB=∠EBO．

令y=1，则x²﹣2x﹣3=1，解得x₁=1+，x₂=1﹣．

∵点E位于对称轴右侧，

∴E（1+，1）．

∴DE=．

令y=0，则x²﹣2x﹣3=0，解得x=3或﹣1，

∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（﹣1，0）．

∴BD==．

∴BD=DE．

∴∠DEB=∠DBE．

∴∠DBE=∠EBO．

∴BE平分∠ABD．