Question

12．如图，直线AB交x轴于点A（4，0），交y轴于点B，交反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）于点P（第一象限），若点P的纵坐标为2，且tan∠BAO=1
（1）求出反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的解析式；
（2）过线段AB上一点C作x轴的垂线，交反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）于点D，连接PD，当△CDP为等腰三角形时，求点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）过点P作PE⊥x轴于点E，求出点P的坐标，进而求出反比例函数的解析式；
（2）首先求出直线AB的解析式，然后设C（m，m-4），则D（m，$\frac{12}{m}$），过P作PF⊥CD于F点，则F（m，2），根据DF=CF列出m的方程，求出m的值即可．

解答 解：（1）过点P作PE⊥x轴于点E，
∵tan∠BAO=1，
∴∠BAO=45°，
∴∠BAO=∠ABO=45°，
∵点P的纵坐标为2，
∴PE=AE=2，
∵A（4，0），
∴P（6，2），
∴k=12，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{12}{x}$；
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b且A（4，0），P（6，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{6k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴y=x-4，
设C（m，m-4），则D（m，$\frac{12}{m}$），
过P作PF⊥CD于F点，则F（m，2），
∵PD=PC，PF⊥CD，
∴DF=CF，
∴$\frac{12}{m}$-2=2-（m-4），
∴m²-8m+12=0，
解得m₁=2，m₂=6（不合题意，舍去），
∴当C（2，-2）时，△CDP为等腰直角三角形．

点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出反比例函数的解析式以及正确作出辅助线，此题难度不大．