Question

27、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=18cm，BC=21cm，点P从点A出发，沿边AD向点D以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿边CB向点B以2cm/s的速度移动，若P、Q同时出发，且有一点运动端点时，另一点也随之停止．
（1）经过几秒后四边形PQCD为平行四边形；
（2）在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻使四边形PQCD成为等腰梯形？如果存在，求经过几秒后；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）要使四边形PQCD是平行四边形，只需满足DP=CQ即可，以此求得所用的时间．
（2）四边形PQCD成为等腰梯形，首先要掌握等腰梯形的性质，在运动过程中，当两腰相等时求得的时间即为所求．

解答：解：（1）要使四边形PQCD为平行四边形，则PD=CQ，
∵AD=18cm，AP=t，
∴PD=18-t，
∵CQ=2t，
∴18-t=2t，
解得：t=6；
（2）设经过ts，CQ=2t，AP=t，四边形PQCD是等腰梯形．过Q点作QE⊥AD于E，过D点作DF⊥BC于F，
∵四边形PQCD是等腰梯形，
∴PQ=DC．
又∵AD∥BC，∠B=90°，
∴AB=EQ=DF．
∴Rt△EQP≌Rt△FDC（HL）．
∴FC=EP，
而FC=BC-AD=21-18=3cm．
∴PE=3cm，
又∵AE=BQ=BC-CQ=21-2t，EP=AP-AE=t-AE，
∴EP=AP-AE=t-（21-2t）=3cm．
∴t=8．
∴经过8s，四边形PQCD是等腰梯形．

点评：本题考查了等腰梯形及平行四边形的判定，难度适中，熟练掌握平行四边形及等腰梯形的性质是解题的关键．