Question

在△ABC中，∠ACB=α，∠BAC的外角平分线与∠ABC的外角平分线交于点D，过点D作DE⊥AB于点E，若BC=mBE．
（1）当α=90°，m=1时，探究DE和BE的数量关系．
（2）求

DE

BE

的值．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的判定与性质,解直角三角形

专题：

分析：（1）过点D作DG⊥CG于点G，作DF⊥CA于点F，根据角平分线的性质可得出DF=DE=DG，故可得出四边形DFCG是正方形，再由全等三角形的判定定理得出△DGB≌△DEB，故可得出BE=BG，AE=AF，再根据m=1可知点B是CG的中点，由此可得出结论；
（2）过点D作DG⊥CG于点G，连接CD，根据角平分线的性质得出DE=DG=DF，由HL定理得出△DBE≌△DBG，故可得出BE=BG，DE=DG，再根据BC=mBE可知BC=mBG．根据HL定理得出△CDF≌△CDG，故CD是∠ACB的平分线，故∠DCG=

1

2

∠AB=

α

2

，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．

解答： 解：（1）如图1，过点D作DG⊥CG于点G，作DF⊥CA于点F，
∵∠BAC的外角平分线与∠ABC的外角平分线交于点D，DE⊥AB，
∴DF=DE=DG，
∵∠C=90°，
∴四边形DFCG是正方形．
在△DGB与△DEB中，

∠DEB=∠DGB=90° DE=DG BD=BD

，
∴△DGB≌△DEB（HL），
∴BE=BG，AE=AF，
∵m=1，
∴点B是CG的中点，
∴BG=

1

2

DG，即BE=

1

2

DE；

（2）如图2，过点D作DG⊥CG于点G，连接CD，
∵∠BAC的外角平分线与∠ABC的外角平分线交于点D，
∴DE=DG=DF，
在Rt△DBE与Rt△DBG中，

DE=DG BD=BD

，
∴△DBE≌△DBG（HL），
∴BE=BG，DE=DG．
∵BC=mBE，
∴BC=mBG．
同理，△CDF≌△CDG，
∴CD是∠ACB的平分线，
∴∠DCG=

1

2

∠AB=

α

2

，
∴

DG

BC

=tan

α

2

，即

DE

(m+1)BE

=tan

α

2

，
解得

DE

BE

=（m+1）•tan

α

2

．

点评：本题考查的是全等三角形的判定定理，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．