Question

19．如图，在菱形ABCD中，E在BC上，AE交BD于点M，AB=AE，2∠BAE=∠EAD．求证：BE=BM．

Answer 1

分析 设∠BAE=x，然后根据等腰三角形两底角相等表示出∠ABE，再根据菱形的邻角互补求出∠ABE，根据三角形内角和定理列出方程，求出x的值，求出∠BME和∠BEM的度数，即可得出答案．

解答 证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠ABE+∠BAE+∠EAD=180°，
设∠BAE=x°，
则∠EAD=2x°，∠ABE=180°-x°-2x°，
∵AB=AE，∠BAE=x°，
∴∠ABE=∠AEB=180°-x°-2x°，
由三角形内角和定理得：x+180-x-2x+180-x-2x=180，
解得：x=36，
即∠BAE=36°，
∠BAE=180°-36°-2×36°=70°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD=∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABE=36°，
∴∠BME=∠ABD+∠BAE=36°+36°=72°，
∴∠BEM=180°-36°-72°=72°，
∴BE=BM．

点评 本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟记各性质并列出关于∠BAE的方程是解题的关键，注意：菱形的对边平行，菱形的对角线平分一组对角．