Question

8．如图，已知点A是双曲线$y=\frac{2}{x}$在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等腰Rt△ABC，点C在第四象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在第四象限，且双曲线$y=\frac{k}{x}$始终经过点C，则k的值为-2．

Answer 1

分析 连结OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，设A点坐标为（a，$\frac{2}{a}$），利用反比例函数的性质得到点A与点B关于原点对称，则OA=OB，再根据等腰直角三角形的性质得OC=OA，OC⊥OA，然后利用等角的余角相等可得到∠DCO=∠AOE，则根据“AAS”可判断△COD≌△OAE，所以OD=AE=$\frac{2}{a}$，CD=OE=a，于是C点坐标为（$\frac{2}{a}$，a），最后根据反比例函数图象上点的坐标特征确定C点所在的函数图象解析式．

解答 解：连结OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，如图，
设A点坐标为（a，$\frac{2}{a}$），
∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线y=$\frac{2}{x}$的交点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴OA=OB
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴OC=OA，OC⊥OA，
∴∠DOC+∠AOE=90°，
∵∠DOC+∠DCO=90°，
∴∠DCO=∠AOE，
在△COD和△OAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDO=∠OEA}\\{∠DCO=∠EOA}\\{CO=OA}\end{array}\right.$，
∴△COD≌△OAE（AAS），
∴OD=AE=$\frac{2}{a}$，CD=OE=a，
∴C点坐标为（$\frac{2}{a}$，-a），
∵-a•$\frac{2}{a}$=-2，
∴点C在反比例函数y=-$\frac{2}{x}$图象上．
故答案为-2．

点评 本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质；熟练运用三角形全等的判定与性质解决线段相等的问题．