Question

12．如图，在菱形ABCD中，把∠A、∠C分别翻折，使点A、C分别落在对角线BD上的点H、G处，折痕分别是DF、BE．
（1）求证：△ADF≌△CBE；
（2）如图2，连接GF、EH，求证四边形EHFG是平行四边形；
（3）如图3，在图2的基础上连接EF，交BD于点O，将∠A=120°，AD=4，求证∠FOB=45°，求线段EF的长．

Answer 1

分析 （1）先由菱形的性质和折叠的性质得到全等三角形的条件；
（2）由折叠和菱形的对称性得出EG=FH，再判断出FH∥EG即可；
（3）过点F作FM⊥BD，设出HM，利用含30°的直角三角形的性质表示出FM，FH，FB，OB，判断出FM=OM即可．

解答 解：（1）∵BD是菱形ABCD对角线，
∴∠ADB=∠CBD，AD=BC，∠A=∠C
由折叠知，∠ADF=$\frac{1}{2}$∠ABD，∠CBE=$\frac{1}{2}$∠CBE，
∴∠ADF=∠CBE，
在△ADF和△CBE中$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠CBE}\\{AD=BC}\\{∠A=∠C}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CBE，
（2）由折叠得，AF=FH=CE=EG，∠FHD=∠A=∠C=∠EGB，
∴FH∥EG，
∴四边形EHFG是平行四边形；
（3）①如图3，设HM=a，
由折叠知，∠FHD=120°，
∴∠FHM=60°，
∴∠HFM=30°，
∴FM=$\sqrt{3}$a，FH=2a，
∵∠FMB=90°，
∴BM=3a
∵∠ABD=30°，∠FHB=60°，
∴∠BFH=90°，
∴BF=2$\sqrt{3}$a，
∴AB=AF+BF=FH+BF=2（$\sqrt{3}$+1）a，
∵∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴OB=（3+$\sqrt{3}$）a，
∴OM=OB-BM=$\sqrt{3}$a，
∴FM=OM，
∵∠FMO=90°，
∴∠FOB=45°，
②∵∠FMO=90°，∠FOB=45°，
∴OF=$\sqrt{2}$OM=$\sqrt{6}$a，
∵AD=4，
∴2（$\sqrt{3}$+1）a=4，
∴a=$\frac{3}{\sqrt{3}+1}$
∴EF=2OF=2$\sqrt{6}$×$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$=6$\sqrt{2}$-2$\sqrt{6}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理，解本题的关键是判断出四边形EHFG是平行四边形，作出辅助线，用代数的方法得出FM=OM是解本题的难点．