题目内容

10．如图，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A（-1，0），B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且对称轴为x=1，点D为顶点，连结BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）若对称轴右侧抛物线上一点M，过点M作MN⊥CD，交直线CD于点N，使∠CMN=∠BDE，求点M的坐标；
（3）连接BC交DE于点P，点Q是线段BD上的一个动点，自点D以$\sqrt{5}$个单位每秒的速度向终点B运动，连接PQ，将△DPQ沿PQ翻折，点D的对应点为D′，设Q点的运动时间为t（0≤t≤$\frac{4}{5}$）秒，求使得△D′PQ与△PQB重叠部分的面积为△DPQ面积的$\frac{1}{2}$时对应的t值．

分析 （1）根据A、B关于对称轴为x=1对称，且A（-1，0），得到B（3，0），所以-1，3是方程ax2+bx-3=0的根，得到-1+3=-$\frac{b}{a}$，求出a=1，b=-2，所以抛物线y=x2-2x-3，当x=1时，y=-4，即可确定D（1，-4）．
（2）若点N在射线CD上，如备用图1-1，延长MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．易证△MCN∽△DBE，得到MN=2CN．设CN=a，则MN=2a．求出MG=FG=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a，CG=FG-FC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，代入抛物线y=（x-3）（x+1），求出a的值，即可知M的坐标；若点N在射线DC上，如备用图1-2，MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．用类似的方法求出a的值，确定M的坐标；
（3）分两种情况作答，画出图形，利用解三角形，即可解答．

解答 解：（1）∵A、B关于对称轴为x=1对称，且A（-1，0），
∴B（3，0），
∴-1，3是方程ax2+bx-3=0的根，
∴-1+3=-$\frac{b}{a}$，
解得：a=1，b=-2，
∴抛物线y=x2-2x-3，
∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴顶点D的坐标为（1，-4），
（2）①若点N在射线CD上，如备用图1-1，延长MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．
∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，
∴△MCN∽△DBE，
∴$\frac{CN}{MN}$=$\frac{BE}{DE}$=$\frac{1}{2}$，
∴MN=2CN．
设CN=a，则MN=2a．
∵∠CDE=∠DCF=45°，
∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，
∴NF=CN=a，CF=$\sqrt{2}$a，
∴MF=MN+NF=3a，
∴MG=FG=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a，
∴CG=FG-FC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴M（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a，-3+$\frac{\sqrt{2}}{2}$a）．   
代入抛物线y=（x-3）（x+1），解得a=$\frac{7\sqrt{2}}{9}$，
∴M（$\frac{7}{3}$，-$\frac{20}{9}$）；
②若点N在射线DC上，如备用图1-2，MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．
∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，
∴△MCN∽△DBE
∴$\frac{CN}{MN}$=$\frac{BE}{DE}$=$\frac{1}{2}$，
∴MN=2CN．
设CN=a，则MN=2a．
∵∠CDE=45°，
∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，
∴NF=CN=a，CF=$\sqrt{2}$a，
∴MF=MN-NF=a，
∴MG=FG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴CG=FG+FC=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a，
∴M（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，-3+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a）．
代入抛物线y=（x-3）（x+1），解得a=5$\sqrt{2}$，
∴M（5，12）；
综上可知，点M坐标为（$\frac{7}{3}$，-$\frac{20}{9}$）或（5，12）；
（3）如备用图2-1，
易知PG1是△DBE的中位线，PQ1平分∠DPD′，
∴∠DPQ1=45°，
Rt△DBE中三边比为1：2：$\sqrt{5}$，
易得tan∠EDB=$\frac{1}{2}$，
解△PDQ1得：DQ1=$\frac{\sqrt{5}}{3}$PD=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
此时t=$\frac{2}{3}$，
如备用图2-2，
作PH⊥BD，PG1和PG2关于PH对称，PQ2平分∠DPQ2，
易得∠Q2PH=45°，
解三角形得DQ2=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
此时t=$\frac{2}{5}$．
∴t=$\frac{2}{3}$或t=$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查了二次函数的应用、勾股定理逆定理、相似三角形的性质和判定，特别注意利用数形结合是这部分考查的重点，也是难点．在（3）中注意分类讨论思想的应用．

练习册系列答案
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20．如图所示，在三角形中已知两边之长分别为a，b（a＜b），那么第三边上的中线的长度x的取值范围是$\frac{b-a}{2}$＜x＜$\frac{b+a}{2}$．
1．不透明的袋子中装有4个红球、6个黄球和5个蓝球，每个球除颜色不同外其它都相同，从中任意摸出一个球，则摸出黄球的可能性最大．
18．用硬纸板剪一个平行四边形，做出它的对角线的交点O，用大头针把一根平放在平行四边形上的直细木条固定在点O处．若木条与AD交于点E、与BC交于点F，拨动细木条
（1）OE=OF吗？为什么？
（2）什么情况下ABFE为平行四边形？为什么？什么情况下ABFE为等腰梯形？为什么？
（3）什么情况下AFCE为菱形？为什么？
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（1）求AB的长；
（2）当AP为何值时，矩形APQR的面积最大，并求出最大值．
为了解决这个问题，孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论：
张明：图2中的抛物线过点（12，36）在图1中表示什么呢？
李明：因为抛物线上的点（x，y）是表示图1中AP的长与矩形APQR面积的对应关系，那么，（12，36）表示当AP=12时，AP的长与矩形APQR面积的对应关系．
赵明：对，我知道纵坐标36是什么意思了！
孔明：哦，这样就可以算出AB，这个问题就可以解决了．
请根据上述对话，帮他们解答这个问题．
15．下列结论中，错误结论有（　　）
①三角形三条高（或高的延长线）的交点不在三角形的内部，就在三角形的外部．
②一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加360°．
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④三角形的一个外角等于任意两个内角的和．
⑤在△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，则△ABC为直角三角形．
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A．6个B．5个C．4个D．3个
2．如图，一次函数y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$的图象与坐标轴分别交于点A和B两点，将△AOB沿直线CD折起，使点A与点B重合，直线CD交AB于点D．
（1）求点C的坐标；
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19．解方程组：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+3xy=28}\\{2xy-{y}^{2}=7}\end{array}\right.$．
20．数轴上点A、点B分别表示实数$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$-2，则A、B两点间的距离为2．

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