Question

10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC绕点A旋转得到△ADE（E与C对应，D与B对应），连接EC并延长交BD于F．
（1）求证：∠DEF=∠BCF；
（2）求证：BF=DF；
（3）当AC=BC时，连接BE，若△BCE的面积等于2，求BD的长？

Answer 1

分析 （1）如图1，由旋转得对应边相等，对应角相等，则AC=AE，∠ACB=∠AED=90°，利用等角的余角相等得结论；
（2）如图2，作辅助线，构建两个全等三角形，证明△EDF≌△CBN，再利用等角对等边和等量代换得：BF=DF；
（3）如图3，作辅助线，构建三角形的高线，利用三角形全等得EF=CN，则EC=FN，所以△ECB和△FBN是等底同高的两个三角形面积相等，设FM=x，根据△BCE的面积等于2列式求出x的值，则DB=4．

解答 证明：（1）如图1，由旋转得：AC=AE，∠ACB=∠AED=90°，
∴∠CEA=∠ECA，
∴∠DEF+∠AEC=90°，∠ECA+∠BCF=90°，
∴∠DEF=∠BCF；
（2）如图2，作∠CBN=∠EDF，交EF延长线于点N，
∵DE=BC，∠DEF=∠BCF，
∴△EDF≌△CBN，
∴DF=BN，∠DFE=∠N，
∵∠DFE=∠BFN，
∴∠BFN=∠N，
∴BF=BN，
∴BF=DF；
（3）如图3，作∠CBN=∠EDF，交EF延长线于点N，过B作BM⊥EN于M，连接AF，
由（2）得：△EDF≌△CBN，
∴EF=CN，
∴EF-CF=CN-CF，
即EC=FN，
∵AD=AB，DF=BF，
∴AF⊥BD，
∴∠AFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴A、C、F、B四点共圆，
∴∠CFA=∠CBA=45°，
∴∠BFN=180°-90°-45°=45°，
∴△FMB是等腰直角三角形，
设FM=x，则BM=FM=MN=x，
∵S_△ECB=$\frac{1}{2}$EC•BM，
S_△BFN=$\frac{1}{2}$FN•BM，
∴S_△ECB=S_△BFN，
∵S_△ECB=2，
∴$\frac{1}{2}$•2x•x=2，
x=±$\sqrt{2}$，
∴FM=$\sqrt{2}$，
∴BF=$\sqrt{2}$FM=2，
∴BD=2BF=4．

点评 本题是三角形的综合题，也是旋转变换问题，首先明确旋转前后的两个三角形对应边相等，对应角相等；巧妙地做一个角等于已知角，构建两个三角形全等，根据对应边相等与等角对等边相结合得出结论；本题还利用了四点共圆证明两角相等，等腰直角三角形的锐角是45°和斜边是直角边的$\sqrt{2}$倍，以及利用三角形面积公式求出边的长度．