Question

14．如图，点D为线段AB延长线上一点，△ABC和△BDE分别是以AB，BD为斜边的等腰直角三角形．连接CE并延长，交AD的延长线于F，△ABC的外接圆圆O交CF与点M．若AB=6，BD=2．
（1）求CE长度；
（2）证明：AC²=CM•CF；
（3）求CM长度．

Answer 1

分析 （1）由△ABC和△BDE等腰直角三角形，AB=6，BD=2．得到BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=3$\sqrt{2}$，BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=$\sqrt{2}$，∠ABC=∠EBD=45°，∠CBE=90°，根据勾股定理即可求得CE=$\sqrt{{CB}^{2}{+BE}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；
（2）欲证AC²=CM•CF，即证AC：CF=CM：AC，连接AM，通过证明△ACM∽△FCA可以得出；
（3）根据△EDF∽△CBF，得到$\frac{DF}{BF}$=$\frac{DE}{BC}$=$\frac{EF}{CF}$，$\frac{EF}{EF+CE}$=$\frac{DF}{BD+DF}$=$\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$=$\frac{1}{3}$，求出BF=3，CF=3$\sqrt{5}$，根据切割线定理得到BF•AF=FM•CF，求出FM=$\frac{9\sqrt{5}}{5}$，即可得CM=3$\sqrt{5}$-$\frac{9\sqrt{5}}{5}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

解答 解：（1）∵△ABC和△BDE等腰直角三角形，AB=6，BD=2．
∴BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=3$\sqrt{2}$，BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=$\sqrt{2}$，∠ABC=∠EBD=45°，
∴∠CBE=90°，
∴CE=$\sqrt{{CB}^{2}{+BE}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；

（2）证明：连接AM，则∠AMC=∠ABC=∠CAF=45°，
∵∠ACM=∠FCA
∴△ACM∽△FCA，
∴$\frac{AC}{CF}$=$\frac{CM}{AC}$，
∴AC²=CM•CF；

（3）∵∠ABC=∠BDE，
∴DE∥BC，
∴△EDF∽△CBF，
∴$\frac{DF}{BF}$=$\frac{DE}{BC}$=$\frac{EF}{CF}$，
∴$\frac{EF}{EF+CE}$=$\frac{DF}{BD+DF}$=$\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$=$\frac{1}{3}$，
∴BF=3，CF=3$\sqrt{5}$，
∵BF•AF=FM•CF，
∴FM=$\frac{9\sqrt{5}}{5}$，
∴CM=3$\sqrt{5}$-$\frac{9\sqrt{5}}{5}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了切线的判定及有关性质，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．