Question

6．如图，BD是⊙O的直径，A、C是⊙O上的两点，且AB=AC，AD与BC的延长线交于点E．
（1）求证：AB²=AD•AE；
（2）若AD=1，DE=3，求tan∠DAC的值．

Answer 1

分析 （1）由AB=AC，根据弧与弦的关系，可得$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，继而证得∠ABC=∠ADB，又由∠BAE是公共角，即可证得△ABD∽△AEB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论；
（2）由AB²=AD•AE，可求得AB，又由垂径定理，可证得∠DAC=∠ABD，继而求得答案．

解答 （1）证明：∵AB=AC，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，
∴∠ABC=∠ADB，
又∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABD∽△AEB，
∴AB：AE=AD：AB，
∴AB²=AD•AE；

（2）解：∵AD=1，DE=3，
∴AE=4，
∴AB²=AD•AE=1×4=4，
∴AB=2，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DAB=90°，
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，
∴BD⊥AC，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，
∴∠ABD=∠DAC，
∴tan∠DAC=tan∠ABD=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{2}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理以及等腰三角形的性质．注意证得△ABD∽△AEB是解此题的关键．