Question

10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，cosB=$\frac{3}{5}$，G为BC上一点（不与B重合），以BG为直径的圆O交AB于D，作AD的垂直平分线交AD于F，交AC于E，连结DE．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若BG=3，求DE的长；
（3）设BG=x，DE=y，求y与x的函数关系，写出y的最小值．

Answer 1

分析 （1）连接OD、DG，由BG为圆的直径可知∠BDG是直角，然后只要证明∠ODE=90°，即可证明结论成立，根据题目中的条件可以得到∠ODE=90°，本题得以解决；
（2）根据题目中的条件和勾股定理，可以转化为直角三角形ODE和直角三角形OCD两直角边的平方等于OE的平方，从而可以得到DE的长；
（3）根据（2）中的求解方法，可以得到y与x的函数关系式，根据一次函数的性质，可以得到y的最小值．

解答 （1）证明：连接OD、DG，如右图所示，
∵BG为⊙O的直径，OD=OB，∠ACB=90°，
∴∠BDG=90°，∠ODB=∠B，∠B+∠A=90°，
∴∠A=∠ODG，∠GDE+∠EDA=90°，
又∵EF是AD的垂直平分线，
∴∠A=∠EDA，
∴∠EDA=∠ODG，
∴∠GDE+∠ODG=90°，
即OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE为⊙O的切线；
（2）连接OE，如右上图所示，
∵∠ACB=90°，AB=10，cosB=$\frac{3}{5}$，
∴BC=AB•cosB=6，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}=8$，
∵BG=3，
∴OD=1.5，OC=BC-OB=6-1.5=4.5，
∵EF是AD的垂直平分线，
∴EA=ED，
设EA=x，则ED=x，EC=8-x，
∵∠ECO=90°，∠EDO=90°，
∴DE²+OD²=EC²+OC²，
即x²+1.5²=（8-x）²+4.5²，
解得，x=$\frac{41}{8}$，
即DE的长是$\frac{41}{8}$；
（3）连接OE，如右上图所示，
∵∠ACB=90°，AB=10，cosB=$\frac{3}{5}$，
∴BC=AB•cosB=6，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}=8$，
∵BG=x，
∴OD=0.5x，OC=BC-OB=6-0.5x，
∵EF是AD的垂直平分线，ED=y，
∴EA=ED=y，
∴EC=8-y，
∵∠ECO=90°，∠EDO=90°，
∴DE²+OD²=EC²+OC²，
即y²+（0.5x）²=（8-y）²+（6-0.5x）²，
化简，得y=$-\frac{3}{8}x+\frac{50}{8}$，（0＜x≤6）
∵-$\frac{3}{8}$＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=6时，y取得最小值，此时y=$-\frac{3}{8}×6+\frac{50}{8}$=4，
即y与x的函数关系是y=$-\frac{3}{8}x+\frac{50}{8}$，（0＜x≤6），y的最小值是4．

点评 本题考查圆的综合题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答问题．