Question

如图所示，△ABC中，BD⊥AC于点D，AE平分∠BAC，AE交BD于点F，∠ABC=90°．
（1）求证：∠BEF=∠BFE；
（2）若BC=80cm，BE：EC=3：5，AC=100cm，求S_△AEC和S_△ABC．

Answer 1

分析：（1）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，再根据等角的余角相等求出∠BEF=∠AFD，然后根据对顶角相等可得∠BFE=∠AFD，等量代换即可得解；
（2）根据比例求出EC，利用勾股定理列式求出AB，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．

解答：解：（1）如图，∵AE平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∵BD⊥AC，∠ABC=90°，
∴∠1+∠BEF=∠2+∠AFD=90°，
∴∠BEF=∠AFD，
∵∠BFE=∠AFD（对顶角相等），
∴∠BEF=∠BFE；

（2）∵BC=80cm，BE：EC=3：5，
∴EC=80×

5

3+5

=50cm，
由勾股定理得，AB=

AC2-BC2

=

1002-802

=60cm，
∴S_△AEC=

1

2

EC•AB=

1

2

×50×60=1500cm²，
S_△ABC=

1

2

AB•BC=

1

2

×60×80=2400cm²．

点评：本题考查了直角三角形的性质，勾股定理的应用，等角的余角相等的性质，三角形的面积，熟记各性质并准确识图是解题的关键．