Question

5．如图，数轴上一点A，点B从A出发沿数轴以a个单位/秒的速度匀速向左运动，同时另一点C也从A出发沿数轴以某一速度匀速向右运动，取BC中点M，AC中点N，关于x的方程$\frac{x-2}{3}$+2a=4的解为x=a．
（1）求B点的运动速度；
（2）当MN=5时，B点对应的数为-6，求A点对应的数；
（3）C点是否存在某一速度，使得运动过程中始终有$\frac{BN}{CM}$=$\frac{4}{3}$？若不存在，请说明理由；若存在，请说明理由并求出C点的速度．

Answer 1

分析 （1）把x=a代入已知方程，通过解方程求得a的值；
（2）由图中相关线段间的和差关系来求MN的长度，则易得点A对应的数；
（3）设点C的运动速度是x单位/秒．根据“运动过程中始终有$\frac{BN}{CM}$=$\frac{4}{3}$”列出方程并解答．

解答 解：（1）把x=a代入$\frac{x-2}{3}$+2a=4，得
$\frac{a-2}{3}$+2a=4，
解得a=2．
答：B点的运动速度是2单位/秒；

（2）如图所示：BM+MN=BN，①
BM-MN=CN，②
①-②，得
BN-CN=2MN．
又AN=CN，
所以：BN-AN=AB=2MN=10，
即点A、B间的距离是10．
又∵点B所对应的数是-6，点A在点B的右边，
∴点A所对应的数是4；

（3）要满足$\frac{BN}{CM}$=$\frac{4}{3}$，
∵BN=BM+MN，CM=BM，
∴$\frac{BM+MN}{BM}$=$\frac{4}{3}$，
则BM=3MN．
设点C的运动速度是x单位/秒，时间为t，则AB=2t，AC=xt，
即AB=2t=BM-AM=BM-AN+MN=BM-CN+MN=2MN，
∴MN=t．
又∵AN=CN，BM=CM，BM-CN=CM-CN=MN，
∴AC=xt=2CN=2（BM-MN），
即BM=3MN=3t，
则xt=2（3t-4）=4t，
解得x=4．
答：C点的速度是4单位/秒．

点评 本题考查了数轴、一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．