Question

1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OC，BD平分∠ABC，交⊙O于点D，连接AD，CD，过点D作直线EF∥AC，已知∠BDC+∠ACB=130°．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：直线EF是⊙O的切线．

Answer 1

分析 （1）由圆周角定理，可得∠BDC=∠BAC，又由∠BDC+∠ACB=130°，即可求得答案；
（2）首先连接OD，由BD平分∠ABC，易证得OD⊥AC，又由直线EF∥AC，证得结论．

解答 （1）解：∵∠BDC=∠BAC，∠BDC+∠ACB=130°，
∴∠BAC+∠ACB=130°，
∴∠ABC=180°-（∠BAC+∠ACB）=50°；

（2）证明：连接OD，
∵BD平分∠ABC，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，
∴OD⊥AC，
∵EF∥AC，
∴OD⊥EF，
∴直线EF是⊙O的切线．

点评 此题考查了切线的性质、垂径定理以及圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．